Một Chi Đoàn có 3 Đoàn viên nữ và một số Đoàn viên nam.Cần lập một đội thanh niên tình nguyện (TNTN) gồm 4 người. Gọi A là biến cố :” 4 người được chọn có 3 nữ” và B là biến cố :” 4 người đượ
Câu hỏi:
Một Chi Đoàn có 3 Đoàn viên nữ và một số Đoàn viên nam.Cần lập một đội thanh niên tình nguyện (TNTN) gồm 4 người. Gọi A là biến cố :” 4 người được chọn có 3 nữ” và B là biến cố :” 4 người được chọn toàn nam” . Biết rằng P(A) = \(\frac{2}{5}\)P(B). Hỏi Chi Đoàn có bao nhiêu Đoàn viên?
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi số Đoàn viên trong Chi đoàn là n (n ∈ℕ*, n ≥ 7)
⇒Số Đoàn viên nam trong Chi Đoàn là n – 3
Ta có : Mỗi lần chọn 4 Đoàn viên ngẫu nhiên từ n Đoàn viên cho ta một tổ hợp chập 4 của n nên n(Ω) =\(C_n^4\)
* Để lập đội TNTN trong đó có 3 nữ có thể xem là một công việc gồm 2 công đoạn:
+ Công đoạn 1: Chọn 3 nữ có 1 cách chọn
+ Công đoạn 2: Chọn 1 nam có n - 3 cách chọn
⇒n(A) = 1.(n - 3) = n - 3
⇒P(A) = \(\frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\) = \(\frac{{n - 3}}{{C_n^4}}\)
* Để lập đội TNTN có 4 Đoàn viên là nam có n(B) = \(C_{n - 3}^4\)
⇒P(B) = \(\frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}}\) = \(\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}\)
Theo giả thiết ta có: P(A) = \(\frac{2}{5}\)P(B)
hay \(\frac{{n - 3}}{{C_n^4}}\)= \(\frac{2}{5}\).\(\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}\)
⇒ n – 3 = \(\frac{2}{5}\).\(C_{n - 3}^4\)
Mà \(C_{n - 3}^4\)=\(\frac{{(n - 3)!}}{{4!(n - 7)!}}\)= \(\frac{{(n - 7)!(n - 6)(n - 5)(n - 4)(n - 3)}}{{24(n - 7)!}}\)
= \[\frac{{(n - 6)(n - 5)(n - 4)(n - 3)}}{{24}}\]
⇒ n – 3 = \(\frac{2}{5}\).\[\frac{{(n - 6)(n - 5)(n - 4)(n - 3)}}{{24}}\]
⇒(n – 6)(n – 5)(n – 4) = 60
⇒ n3 – 15n2 + 74n – 180 = 0
⇒ n = 9
Vậy Chi Đoàn có 9 Đoàn viên