Tìm m để hàm số y =m/ x+2  luôn nghịch biến trong khoảng xác định của nó.

Câu hỏi:

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = $\mathrm{ℝ}$\{-2} ( x + 2 ≠ 0)

Với ${\text{x}}_1\ne {\text{x}}_2$, ta có:

 $\frac{{\text{f(x}}_2){\text{ - f(x}}_1\text{)}}{{\text{x}}_2{\text{ - x}}_1}=\frac{\frac{\text{m}}{{\text{x}}_2\text{ + 2}}\text{ - }\frac{\text{m}}{{\text{x}}_1\text{ + 2}}}{{\text{x}}_2{\text{ - x}}_1}=\frac{m(x_1+2)-m(x_2+2)}{\frac{(x_1+2)(x_2+2)}{x_2-x_1}}$

$=\frac{m{\text{x}}_1+2m-m{\text{x}}_2-2m}{\frac{(x_1+2)(x_2+2)}{x_2-x_1}}$

= $\text{-}\frac{m(x_2-x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)}:\frac{x_2-x_1}{1}$ $=\frac{-m}{(x_1+2)(x_2+2)}$

Với ${\text{x}}_1{\text{, x}}_2$ thuộc (-2; +∞) hoặc (-∞; -2) thì $\left({\text{x}}_2\text{+ 2}\right)({\text{x}}_1+2)$ > 0 do đó f(x) chỉ nghịch biến khi và chỉ khi $\frac{{\text{f(x}}_2){\text{ - f(x}}_1\text{)}}{{\text{x}}_2{\text{ - x}}_1}$ < 0 hay -m < 0 $\Rightarrow$ m > 0.