Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–1; –2), B(3; 2), C(4; –1). Biết rằng điểm E(a; b) di động trên đường thẳng AB sao cho | 2 vecto EA + 3 vecto EB - vecto EC| đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu hỏi:
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có →AB=(4;4),→AE=(a+1;b+2)−−→AB=(4;4),−−→AE=(a+1;b+2).
Vì E di động trên đường thẳng AB nên ba điểm A, E, B thẳng hàng.
Tức là, →AE=k→AB−−→AE=k−−→AB
Suy ra {a+1=4kb+2=4k
Do đó a + 1 = b + 2
Vì vậy a = b + 1.
Khi đó tọa độ E(b + 1; b).
Ta có:
⦁ →EA=(−2−b;−2−b).
Suy ra 2→EA=(2(−2−b);2(−2−b))=(−4−2b;−4−2b);
⦁ →EB=(2−b;2−b).
Suy ra 3→EB=(3(2−b);3(2−b))=(6−3b;6−3b);
⦁ →EC=(3−b;−1−b).
Suy ra,
2→EA+3→EB−→EC=(−4−2b+6−3b−3+b;−4−2b+6−3b+1+b)=(−4b−1;−4b+3).
Khi đó |2→EA+3→EB−→EC|=√(−4b−1)2+(−4b+3)2
=√16b2+8b+1+16b2−24b+9=√2(16b2−8b+1)+8
=√2(4b−1)2+8.
Ta có (4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Suy ra 2(4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Khi đó 2(4b – 1)2 + 8 ≥ 8, ∀b ∈ ℝ.
Vì vậy √2(4b−1)2+8≥√8=2√2,∀b∈R.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4b−1=0⇔b=14.
Vậy |2→EA+3→EB−→EC| đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi b=14.
Với b=14, ta có a=b+1=14+1=54.
Vậy ab=54.14=516.
Do đó ta chọn phương án C.
