Giải Toán 10 trang 35 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 35 Tập 2 trong Bài 3: Nhị thức Newton Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 35.

Giải Toán 10 trang 35 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x – 2)⁴;

b) (x + 2y)⁵.

Lời giải:

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = -2, ta có:

(x – 2)⁴ = $C_4^0$x⁴ + $C_4^1$x³(-2) + $C_4^2$x²(-2)² + $C_4^3$x(-2)³ + $C_4^4$(-2)⁴

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

Vậy (x – 2)⁴ = x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = 2y, ta có:

(x + 2y)⁵ = $C_5^0$x⁵(2y)⁰ + $C_5^1$x⁴(2y)¹ + $C_5^2$x³(2y)² + $C_5^3$x²(2y)³ + $C_5^4$x(2y)⁴ + $C_5^5$(2y)⁵

= x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y.

Vậy (x + 2y)⁵ = x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y.

Thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:

a) $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$;

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=1$.

Lời giải:

a) $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$

Ta có: ${\left(1+2\right)}^4=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.2+C_4^2{.1}^2{.2}^2+C_4^3{.1}^3{.2}^3+C_4^4{\mathrm{.1.2}}^4$

⇔ $3^4=C_4^0+C_4^1.2+C_4^2{.2}^2+C_4^3{.2}^3+C_4^4{.2}^4$

⇔ $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$ (đpcm).

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=1$

Ta có:

(1 – 2)⁴ = $C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.(-2)+C_4^2{.1}^2.{(-2)}^2+C_4^3\mathrm{.1.}{\left(-2\right)}^3+C_4^4.{(-2)}^4$

⇔(-1)⁴ = $C_4^0-C_4^1+C_4^2{.2}^2-C_4^3{.2}^3+C_4^4{.2}^4$

⇔1 = $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$ (đpcm).

Vận dụng trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Lời giải:

Số lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó là:

$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$ (lựa chọn)

Mà theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.1+C_4^2{.1}^2{.1}^2+C_4^3{.1}^3.1+C_4^4.1={\left(1+1\right)}^4=2^4=16$

Vậy khách hàng có 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

Bài 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)⁴;

b) ${\left(x-\sqrt{2}\right)}^5$.

Lời giải:

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

(3x + y)⁴ = $C_4^0.{\left(3x\right)}^4+C_4^1.{\left(3x\right)}^3.y+C_4^2.{\left(3x\right)}^2.y^2+C_4^3.{\left(3x\right)}^1.y^3+C_4^4.y^4$

$=81x^4+108x^{3}y+54x^2{y}^2+12x{y}^3+y^4$.

Vậy (3x + y)⁴ $=81x^4+108x^{3}y+54x^2{y}^2+12x{y}^3+y^4$.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

${\left(x-\sqrt{2}\right)}^5$

= $C_5^0$x⁵ + $C_5^1$x⁴.${\left(-\sqrt{2}\right)}^1$+ $C_5^2$x³${\left(-\sqrt{2}\right)}^2$ + $C_5^3$x²${\left(-\sqrt{2}\right)}^3$ + $C_5^4$x${\left(-\sqrt{2}\right)}^4$ + $C_5^5$${\left(-\sqrt{2}\right)}^5$

= x⁵ – $5\sqrt{2}$x⁴ + 20x³ – $20\sqrt{2}$x² + 20x – $4\sqrt{2}$.

Vậy ${\left(x-\sqrt{2}\right)}^5$ = $C_5^0$x⁵ – $5\sqrt{2}$x⁴ + 20x³ – $20\sqrt{2}$x² + 20x – $4\sqrt{2}$.

Bài 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4$;

b) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4+{\left(2-\sqrt{2}\right)}^4$;

c) ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5$.

Lời giải:

a) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4$

= $C_4^0{2}^4+C_4^1{.2}^3\left(\sqrt{2}\right)+C_4^2{.2}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.2.}{\left(\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(\sqrt{2}\right)}^4$

= 16 + 32$\sqrt{2}$ + 48 + 16$\sqrt{2}$ + 4
$=68+48\sqrt{2}$.

Vậy ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4=68+48\sqrt{2}$.

b) Ta có:

${\left(2-\sqrt{2}\right)}^4$

= $C_4^0{2}^4+C_4^1{.2}^3\left(-\sqrt{2}\right)+C_4^2{.2}^2{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.2.}{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(-\sqrt{2}\right)}^4$

= 16 – 32$\sqrt{2}$ + 48 – 16$\sqrt{2}$ + 4

$=68-48\sqrt{2}$.

Khi đó: ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4+{\left(2-\sqrt{2}\right)}^4=68+48\sqrt{2}+68-40\sqrt{2}=136.$

c) ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5$

$=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4\left(-\sqrt{3}\right)+C_5^2{.1}^3{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+C_5^3{.1}^2.{\left(-\sqrt{3}\right)}^3+C_5^4{.1}^1{\left(-\sqrt{3}\right)}^4+C_5^5.{\left(-\sqrt{3}\right)}^5$

$=1-5\sqrt{3}+30-30\sqrt{3}+45-9\sqrt{3}$

$=76-44\sqrt{3}$.

Vậy ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5=76-44\sqrt{3}.$

Bài 3 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵.

Lời giải:

Ta có:

(3x – 2)⁵

=$C_5^0.{\left(3x\right)}^5+C_5^1.{\left(3x\right)}^4.\left(-2\right)+C_5^2.{\left(3x\right)}^3{\left(-2\right)}^2+C_5^3.{\left(3x\right)}^2.{\left(-2\right)}^3+C_5^4.{\left(3x\right)}^1{\left(-2\right)}^4+C_5^5.{\left(-2\right)}^5$

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Suy ra (3x – 2)⁵ = 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Khi đó hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Bài 4 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Chứng minh rằng $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=0$.

Lời giải:

Ta có: $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5$

$=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.{\left(-1\right)}^1+C_5^2{.1}^3.{\left(-1\right)}^2+C_5^3{.1}^2.{\left(-1\right)}^3+C_5^4{.1}^1.{\left(-1\right)}^4+C_5^5.{\left(-1\right)}^5$

= (1 – 1)⁵ = 0 (nhị thức Newton).

Bài 5 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Cho A = {a1; a2; a3; a4; a5} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.

Lời giải:

Tập con có 0 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập $\varnothing$.

Tập con có 1 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a₁}, {a₂}, {a₃}, {a₄}, {a₅}.

Tập con có 2 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a₁; a₂}, {a₁; a₃}, {a₁; a₄}, {a₁; a₅}, {a₂; a₃}, {a₂; a₄}, {a₂; a₅}, {a₃; a₄}, {a₃; a₅}, {a₄; a₅}.

Tập con có 3 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a₁; a₂; a₃}, {a₁; a₂; a₄}, {a₁; a₂; a₅}, {a₁; a₃; a₄}, {a₁; a₃; a₅}, {a₁; a₄; a₅}, {a₂; a₃; a₄}, {a₂; a₃; a₅}, {a₂; a₄; a₅}, {a₃; a₄; a₅}.

Số tập con có 4 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a₁; a₂; a₃; a₄}, {a₁; a₂; a₄; a₅}, {a₁; a₂; a₃; a₅}, {a₁; a₃; a₄; a₅}, {a₂; a₃; a₄; a₅}.

Số tập con có 5 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập A = {a₁; a₂; a₃; a₄; a₅}.

Suy ra số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A là 5 + 10 + 1 = 16 tập, số tập hợp con có số chẵn (0; 4; 6) phần tử của A là 1 + 10 + 5 = 16 tập.

Vậy số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Nhị thức Newton Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải Toán 10 trang 33 Tập 2