Giải Toán 10 trang 59 Tập 2 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 59 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 7 Toán lớp 10 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 59.

Giải Toán 10 trang 59 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$. 

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂ của (E) với trục tung. Tính A₁A₂,  B₁B₂.

b) Xét một điểm bất kì M(x₀; y₀) thuộc (E).

Chứng minh rằng, b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a² và b ≤ OM ≤ a. 

Chú ý: A₁A₂, B₁B₂ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b. 

Lời giải:

a) 

+) Có A₁ thuộc trục hoành Ox nên y = 0, hơn nữa A₁ lại thuộc (E) nên $\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$.

⇔ x² = a². 

Chọn A₁ nằm bên trái trục Oy nên có hoành độ âm. Vậy tọa độ A₁(– a; 0).

Chọn A₂ nằm bên phải trục Oy nên có hoành độ dương. Vậy tọa độ A₂(a; 0).

Suy ra độ dài A₁A₂ = $\sqrt{{\left(a-\left(-a\right)\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}=2a$ (do a > 0).

+) B₁ thuộc trục tung Oy nên x = 0,hơn nữa B₁ lại thuộc (E) nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

⇔ y² = b².

Chọn B₁ nằm phía dưới trục Ox nên có tung độ âm. Vậy tọa độ B₁(0; – b).

Chọn B₂ nằm phía trên trục Ox nên có tung độ dương. Vậy tọa độ B₂(0; b).

Suy ra độ dài B₁B₂ = $\sqrt{{\left(0-0\right)}^2+{\left(b-\left(-b\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(2b\right)}^2}$= 2b  (do b > 0).

Vậy A₁A₂ = 2a, B₁B₂ = 2b. 

b) Vì M(x₀; y₀) thuộc (E) nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó: 

$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$ . 

+) Giả sử b² ≤ x₀² + y₀², chia cả hai vế cho b² > 0 ta được: 

$$\begin{gathered} \frac{b^2}{b^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \\ \iff 1\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \\ \iff \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \\ \iff \frac{x_0^2}{a^2}\le \frac{x_0^2}{b^2} \end{gathered}$$

Do a > b > 0 nên a² > b² > 0, và x₀² ≥ 0 với mọi x₀ nên $\frac{x_0^2}{a^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}$ luôn đúng. 

Vậy b² ≤ x₀² + y₀². 

+) Chứng minh tương tự ta được: x₀² + y₀² ≤ a². 

Vậy b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a²     (*).

+) Ta lại có: OM = $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$

Từ (*) ta suy ra: $b\le \sqrt{x_0^2+y_0^2}\le a$

Do đó: b ≤ OM ≤ a. 

Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$  .

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁ nhỏ hơn của A₂).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M₁, M₂ tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để  M₁M₂ nhỏ nhất.

Lời giải:

a) A₁ thuộc trục hoành nên y = 0, lại có A₁ thuộc hypebol, do đó ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$

⇔ x² = a².

Do hoành độ của A₁ nhỏ hơn hoành độ của A₂ nên ta xác định được tọa độ của hai điểm A₁ và A₂ là: A₁(− a; 0) và A₂(a; 0).

b) Điểm M(x; y) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. 

Ta cần chứng minh: x² ≥ a² thì yêu cầu của bài toán được giải quyết. 

Giả sử: x² ≥ a²   $\iff \frac{x^2}{a^2}\ge 1$ (chia cả 2 vế cho a²). 

Vì $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên  $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$ (do $\frac{y^2}{b^2}\ge 0$)

Do đó: $\frac{x^2}{a^2}\ge 1$ luôn đúng. 

Suy ra x² ≥ a². 

+) Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì hoành độ x < 0 mà x² ≥ a² nên x ≤ − a.

+) Nếu  M thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì hoành độ x > 0 mà x² ≥ a² nên x ≥ a.

c) Gọi điểm M₁(x₁; y₁) thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol nên hoành độ x₁ < 0, M₂(x₂; y₂) thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol nên hoành độ x₂ > 0.

Theo câu b ta có: x₁ ≤ − a và x₂ ≥ a nên |x₁| + |x₂| ≥ a + a = 2a.

Do x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ − x₁ = |x₂| + |x₁| ≥ a + a = 2a.

Ta có: M₁M₂ = $\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$; A₁A₂ = $\sqrt{{\left(a-\left(-a\right)\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}$

Lại có: (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² ≥ (|x₂| + |x₁|)² + 0 ≥ (2a)².

Nên (M₁M₂)² ≥ (A₁A₂)² 

Suy ra M₁M₂ ≥ A₁A₂.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Vậy để M₁M₂ nhỏ nhất thì M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Bài 7.37 trang 59 Toán 10 Tập 2: Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1 m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa hai cột, trục Oy đi qua điểm chính giữa, hai bên cột lần lượt nằm về hai phía của trục tung (như hình vẽ).

Phương trình hypebol (H) có dạng:  $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (với a, b > 0). 

Theo bài ra ta có: A₁A₂ = 0,8 m; AB = EH = 1 m. Khoảng cách giữa HE và AB là 6 m.

(H) cắt trục hoành tại hai điểm A₁, A₂, ta xác định được tọa độ 2 điểm là: A₁(− 0,4; 0) và A₂(0,4; 0).

Thay tọa độ A₂ vào phương trình (H) ta được: $\frac{{\left(\mathrm{0,4}\right)}^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ 

Suy ra a = 0,4 (do a > 0).

Ta xác định được tọa độ điểm E là E(0,5; 3). 

(H) đi qua điểm có tọa độ E(0,5; 3) nên: $\frac{{\left(\mathrm{0,5}\right)}^2}{{\left(\mathrm{0,4}\right)}^2}-\frac{3^2}{b^2}=1$. 

⇔ b² = 16 ⇒ b = 4 (do b > 0).

Vậy phương trình (H) là: $\frac{x^2}{{\left(\mathrm{0,4}\right)}^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$ hay $\frac{x^2}{\mathrm{0,16}}-\frac{y^2}{16}=1$. 

Gọi F là điểm thuộc hypebol mà cột có độ cao 5 m. Ở độ cao 5 m thì khoảng cách từ vị trí F đó đến trục hoành là 2 m, tương ứng ta có tung độ điểm F là y = 2, ta cần tìm hoành độ của F. 

Thay y = 2 vào phương trình (H) ta có: $\frac{x^2}{\mathrm{0,16}}-\frac{2^2}{16}=1$.

⇔ x² = 0,2 ⇔ x ≈ ± 0,45. 

Vậy độ rộng của cột là: 0,45 . 2 = 0,9 m (độ rộng là khoảng cách nên phải dương).

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 7 Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 10 trang 58