Hoạt động 2 trang 67 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Cho hàm số f(x) = x – 1, g(x) = x + 1.

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 67 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = x² – 1, g(x) = x + 1.

a) $\lim_{x \to 1}$ f(x)và $\lim_{x \to 1}$ g(x).

b) $\lim_{x \to 1} (f (x) + g (x))$ và so sánh với $\lim_{x \to 1} f (x) + \lim_{x \to 1} g (x)$ .

c) $\lim_{x \to 1} (f (x) - g (x))$ và so sánh với $\lim_{x \to 1} f (x) - \lim_{x \to 1} g (x)$ .

d) $\lim_{x \to 1} (f (x) . g (x))$ và so sánh với $\lim_{x \to 1} f (x) . \lim_{x \to 1} g (x)$ .

e) $\lim_{x \to 1} \frac{f (x)}{g (x)}$ và so sánh với $\frac{\lim_{x \to 1} f (x)}{\lim_{x \to 1} g (x)}$ .

Lời giải:

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim f (x_{n}) = \lim (x_{n}^{2} - 1) = \lim x_{n}^{2}$ -1 = 1-1 = 0.

$\Rightarrow$ limf(x) = 0.

limg(x_n) = lim(x_n+1) = limx_n+1 = 2

$\Rightarrow$ limg(x) = 2.

b) Ta có: f(x) + g(x) = x² – 1 + x + 1 = x² + x

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim (f (x_{n}) + g (x_{n})) = \lim (x_{n}^{2} + x_{n}) = \lim x_{n}^{2} + \lim x_{n} = 1^{2} + 1 = 2$ .

$\Rightarrow \lim_{x \to 1} (f (x) + g (x)) = 2$ .

Ta lại có: $\lim_{x \to 1} f (x) + \lim_{x \to 1} g (x)$ = 0 + 2 =2.

Vậy $\lim_{x \to 1} (f (x) + g (x)) = \lim_{x \to 1} f (x) + \lim_{x \to 1} g (x)$ =2.

c) Ta có: f(x) – g(x) = x² – 1 – x – 1 = x² – x – 2

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim (f (x_{n}) - g (x_{n})) = \lim (x_{n}^{2} - x_{n} - 2)$

$= \lim x_{n}^{2} - \lim x_{n} - 2 = 1^{2} - 1 - 2 = - 2$

$\Rightarrow \lim_{x \to 1} (f (x) - g (x)) = - 2$ .

Ta lại có: $\lim_{x \to 1} f (x) - \lim_{x \to 1} g (x)$ = 0-2 = -2.

Vậy $\lim_{x \to 1} (f (x) - g (x)) = \lim_{x \to 1} f (x) - \lim_{x \to 1} g (x)$ = -2.

d) Ta có: f(x).g(x) = (x² – 1)(x + 1) = x³ + x² – x – 1

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim (f (x_{n}) . g (x_{n})) = \lim (x_{n}^{3} + x_{n}^{2} - x_{n} - 1)$

$= \lim x_{n}^{3} + \lim x_{n}^{2} - \lim x_{n}$ -1 = 1³+1²-1-1 = 0

$\Rightarrow \lim_{x \to 1} (f (x) . g (x))$ =0.

Ta lại có: $\lim_{x \to 1} f (x) . \lim_{x \to 1} g (x)$ = 0.2 = 0.

Vậy $\lim_{x \to 1} (f (x) . g (x)) = \lim_{x \to 1} f (x) . \lim_{x \to 1} g (x)$ .

e) Ta có: $\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim \frac{f (x_{n})}{g (x_{n})} = \lim \frac{x_{n}^{2} - 1}{x_{n} + 1} = \lim \frac{(x_{n} - 1) (x_{n} + 1)}{x_{n} + 1} = \lim (x_{n} - 1)$ = 0.

$\Rightarrow \lim_{x \to 1} \frac{f (x)}{g (x)}$ = 0.

Ta lại có: $\frac{\lim f (x)}{\lim g (x)} = \frac{0}{2}$ =0

Vậy $\lim_{x \to 1} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\lim_{x \to 1} f (x)}{\lim_{x \to 1} g (x)}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác: