Giải Toán 11 trang 42 Tập 1 Cánh diều

---

Với Giải Toán 11 trang 42 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 1 Toán lớp 11 Tập 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 42.

Giải Toán 11 trang 42 Tập 1 Cánh diều

Bài 11 trang 42 Toán 11 Tập 1: Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx + 2 = 0 trên đoạn đó.

Lời giải:

Ta có: 3cosx + 2 = 0

$\iff$cosx = -$\frac{2}{3}$.

Đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn :

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn tại 4 điểm A, B, C, D.

Vậy phương trình 3cosx + 2 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn .

Bài 12 trang 42 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) cos$\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$;

c) sin3x – cos5x = 0;

d) ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$ ;

e) sinx - $\sqrt{3}$cosx = 0;

g) sinx + cosx = 0.

Lời giải:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ và $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi$ với k ∈ ℤ

b) cos$\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}$ và $x=-\frac{7\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}$ với k ∈ ℤ

c) sin3x – cos5x = 0

$\iff$ sin3x = cos5x

$\iff$ cos$\left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$ = cos5x

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{4}$ và $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ với k ∈ ℤ

d) ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$

$\iff \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{4}$

$\iff \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{4}$

$\iff \cos 2x=-\frac{1}{2}$

$\iff$ cos2x = cos$\frac{2\pi }{3}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$ với k ∈ ℤ

e) sinx - $\sqrt{3}$cosx = 0

$\iff \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0$

$\iff$ sinxcos$\frac{\pi }{3}$ - cosxsin$\frac{\pi }{3}$ = 0 (do cos$\frac{\pi }{3}$=$\frac{1}{2}$ và sin$\frac{\pi }{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$)

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0$

$\iff x-\frac{\pi }{3}=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ với k ∈ ℤ

g) sinx + cosx = 0

$\iff$ cosx = ‒sinx

$\iff$ cosx = sin(‒x)

$\iff$ cosx = cos$\left(\frac{\pi }{2}-\left(-x\right)\right)$

$\iff$ cosx = cos$\left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ với k ∈ ℤ.

Bài 13 trang 42 Toán 11 Tập 1: Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 ≤ t < 24) cho bởi công thức h = 3cos$\left(\frac{\pi t}{6}+1\right)$+12 (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021). Tìm t để độ sâu của mực nước là:

a) 15 m;

b) 9 m;

c) 10,5 m.

Lời giải:

a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì:

h = 3cos$\left(\frac{\pi t}{6}+1\right)$+12 = 15

$\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=1$

$\iff \frac{\pi t}{6}+1=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t=-\frac{6}{\pi }+12k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Do 0 ≤ t < 24 nên $0\le -\frac{6}{\pi }+12k<24$

$\iff \frac{6}{\pi }\le 12k<24+\frac{6}{\pi }$

$\iff \frac{1}{2\pi }\le k<2+\frac{1}{2\pi }$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì $t=-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 10,09$ (giờ);

Với k = 2 thì $t=-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 22,09$ (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

h = 3cos$\left(\frac{\pi t}{6}+1\right)$+12 = 9

$\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1$

$\iff \frac{\pi t}{6}+1=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t=6-\frac{6}{\pi }+12k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Do 0 ≤ t < 24 nên $0\le 6-\frac{6}{\pi }+12k<24$

$\iff -6+\frac{6}{\pi }\le 12k<18+\frac{6}{\pi }$

$\iff -\frac{1}{2}+\frac{1}{2\pi }\le k<\frac{3}{2}+\frac{1}{2\pi }$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì $t=6-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 4,09$ (giờ);

Với k = 1 thì $t=6-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 16,09$ (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

c) Để độ sâu của mực nước là 10,5 m thì:

h = 3cos$\left(\frac{\pi t}{6}+1\right)$+12 = 10,5

$\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}$

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (1) ta có: $0\le 4-\frac{6}{\pi }+12k<24$

$\iff -4+\frac{6}{\pi }\le 12k<20+\frac{6}{\pi }$

$\iff -\frac{1}{3}+\frac{1}{2\pi }\le k<\frac{5}{3}+\frac{1}{2\pi }$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì $t=4-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 2,09$ (giờ);

Với k = 1 thì $t=4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 14,09$ (giờ).

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (2) ta có: $0\le -4-\frac{6}{\pi }+12k<24$

$\iff 4+\frac{6}{\pi }\le 12k<28+\frac{6}{\pi }$

$\iff \frac{1}{3}+\frac{1}{2\pi }\le k<\frac{7}{3}+\frac{1}{2\pi }$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì $t=-4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 6,09$ (giờ);

Với k = 2 thì $t=-4-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 18,09$ (giờ).

Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 10,5 m.

Bài 14 trang 42 Toán 11 Tập 1: Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số y = 4,8.sin$\frac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 39.

a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

b) Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6 m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.

c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hoá đó là 9 m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.

Lời giải:

a) Hai vị trí O và A là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này ta có: y = 0

$\iff 4,8.\sin \frac{x}{9}=0$

$\iff \sin \frac{x}{9}=0$

$\iff \frac{x}{9}=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=9k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số y = 4,8.sin$\frac{x}{9}$ cắt trục hoành tại điểm O và A liên tiếp nhau với x ≥ 0.

Xét k = 0, ta có x₁ = 0;

Xét k = 1, ta có x₂ = 9π.

Mà x₁ = 0 nên đây là hoành độ của O, do đó x₂ = 9π là hoành độ của điểm A.

Khi đó OA = 9π ≈ 28,3.

Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.

b) Do sà lan có độ cao 3,6 m so với mực nước sông nên khi sà lan đi qua gầm cầu thì ứng với y = 3,6.

$\iff 4,8.\sin \frac{x}{9}=3,6$

$\iff \sin \frac{x}{9}=\frac{3}{4}$

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp ta được kết quả gần đúng là 0,85)

Xét k = 0, ta có x₁ ≈ 7,632; x₂ ≈ 20,642.

Ta biểu diễn các giá trị x vừa tìm được trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số y = 4,8.sin$\frac{x}{9}$ như sau:

Khi đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao 3,6 m phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng BC trên hình vẽ.

Mà BC ≈ 20,642 – 7,632 = 13,01 (m) < 13,1 (m).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.

c) Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật MNPQ:

Khi đó QP = 9; OA = 28,3 và OQ = PA.

Mà OQ + QP + PA = OA

$\Rightarrow$ OQ + 9 + OQ ≈ 28,3

$\Rightarrow$ OQ ≈ 9,65

Khi đó $y_M=4,8.\sin \frac{x_M}{9}=4,8.\sin \frac{OQ}{9}\approx 4,8.\sin \frac{9,65}{9}\approx 4,22$ (m) < 4,3 (m).

Vậy để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 1 Cánh diều hay khác:

• Giải Toán 11 trang 41