Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD.

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 8 - Chân trời sáng tạo

Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD.

a) Chứng minh rằng $\left(\mathrm{SMD}\right)\perp \left(\mathrm{SNC}\right)$.

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SNC).

Lời giải:

a) Tam giác SAB đều có M là trung điểm AB nên SM ⊥ AB. Mà (SAB) ⊥ (SAB) nên SM ⊥ (ABCD). Suy ra SM ⊥ NC.

Xét ΔAMD và ΔDNC

AM = DN

$\widehat{\mathrm{MAD}}=\widehat{\mathrm{NDC}}$

AD = DC

Do đó ΔAMD và ΔDNC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{\mathrm{AM}\text{D}}=\widehat{\mathrm{CN}\text{D}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{AM}\text{D}}+\widehat{A\text{DM}}=90°$ nên $\widehat{\text{CND}}+\widehat{A\text{DM}}=90°$.

Từ đó ta có tam giác DNI vuông tại I hay DM ⊥ NC. Mà SM ⊥ NC nên NC ⊥ (SND).

Vậy (SNC) ⊥ (SMD).

b) Kẻ MH ⊥ SI (H $\in$ SI).

Vì NC ⊥ (SMD) ⇒ NC ⊥ MH ⇒ MH ⊥ (SNC)

Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên $\mathrm{SM}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác CND vuông có DI là đường cao nên $\frac{1}{{\mathrm{DI}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{DN}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{DC}}^{2^{}}}$.

Suy ra $\mathrm{DI}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$

• $\mathrm{DM}=\sqrt{{\mathrm{AM}}^2+A{\text{D}}^{2^{}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$

• $\mathrm{MI}=M\text{D}-\mathrm{DI}=\frac{3\text{a}\sqrt{5}}{10}$

Và SM ⊥ (ABCD) nên SM ⊥ MI.

Tam giác SMI vuông tại M có MH là đường cao

$\frac{1}{{\mathrm{MH}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{SM}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{MI}}^{2^{}}}\Rightarrow \mathrm{MH}=\frac{3\text{a}\sqrt{2}}{8}$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 8 hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Đường thẳng CD ....

• Bài 2 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh b, SA vuông góc với mặt đáy ....

• Bài 3 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm của SA ....

• Bài 4 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng ....

• Bài 5 trang 86 Toán 11 Tập 2: Thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a và chiều cao ....

• Bài 6 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a ....

• Bài 7 trang 86 Toán 11 Tập 2: Nếu hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là ....

• Bài 8 trang 86 Toán 11 Tập 2: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là ....

• Bài 10 trang 87 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi M, N, P ....

• Bài 11 trang 87 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; số đo góc nhị diện ....

• Bài 12 trang 87 Toán 11 Tập 2: Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a ....

• Bài 13 trang 87 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên AA′ = a, đáy ABCD là hình thoi có AB = BD = a ....