Chứng minh rằng: a) sin x – cos x = căn bậc hai của 2 sin ( x - pi /4); b) tan ( pi /4 - x) = 1 - tan x/1 + tan x)( x khác pi /2 + kpi ,x khác 3pi /4 + kpi ,k thuộc Z).

Câu hỏi:

Chứng minh rằng:

a) sin x – cos x = $\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$ ;

b) $\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\,\,\,$ $\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)$ .

Trả lời:

Lời giải:

a) Ta có: $VP = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} - \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)$

$= \sqrt 2 \sin x.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \sqrt 2 \cos x.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin x - \cos x = VT$ (đpcm).

b) Ta có: $VT = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}} = VP$ $\left( {do\,\,\tan \frac{\pi }{4} = 1} \right)$ .

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết:

Câu 1:

Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f₁(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f₂(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f₁(t) + f₂(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

Xem lời giải »

Câu 2:

Nhận biết công thức cộng

a) Cho $a = \frac{\pi }{3}$ và $b = \frac{\pi }{6}$ , hãy chứng tỏ cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Bằng cách viết a + b = a – (– b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b).

c) Bằng cách viết sin(a – b) = $\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a – b).