Nhận biết công thức cộng a) Cho a = pi /3 và b = pi /6, hãy chứng tỏ cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b. b) Bằng cách viết a + b = a – (– b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b).

Nhận biết công thức cộng

a) Cho $a = \frac{\pi }{3}$ và $b = \frac{\pi }{6}$, hãy chứng tỏ cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Bằng cách viết a + b = a – (– b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b).

c) Bằng cách viết sin(a – b) = $\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a – b).

Lời giải:

a) Ta có: a – b = $\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6}$ nên cos(a – b) = $\cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

cos a cos b + sin a sin b

= $\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy với $a = \frac{\pi }{3}$ và $b = \frac{\pi }{6}$, ta thấy cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Ta có: cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a cos(– b) + sin a sin(– b)

Mà cos(– b) = cos b, sin(– b) = – sin b (hai góc đối nhau).

Do đó, cos(a + b) = cos a cos b + sin a . (– sin b) = cos a cos b – sin a sin b.

c) Ta có: sin(a – b) = $\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]$

$= \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\cos b - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b$

$= \sin a\cos b - \cos a\sin b$             (do $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \sin a$, $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \cos a$).

Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.