Tìm các giá trị của a để hàm số f( x ) = x + 1, n^e 'u, x nhỏ hơn bằng a; x^2, n^e 'u, x > a liên tục trên ℝ.

Câu hỏi:

Trả lời:

Lời giải:

Ta có: $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \le a\\{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x > a\end{array} \right.$. Tập xác định của hàm số f(x) là ℝ.

+) Với x < a thì f(x) = x + 1 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; a).

+) Với x > a thì f(x) = x² là hàm đa thức nên nó liên tục trên (a; +∞).

+) Tại x = a, ta có f(a) = a + 1.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left( {x + 1} \right) = a + 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} {x^2} = {a^2}$.

Để hàm số f(x) đã cho liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = a, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)$⇔ a + 1 = a² ⇔ a² – a – 1 = 0

Suy ra $a = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$ hoặc $a = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$.

Vậy $a \in \left\{ {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.