Giải Toán 11 trang 113 Tập 1 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với Giải Toán 11 trang 113 Tập 1 trong Bài 16: Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 113.

Giải Toán 11 trang 113 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 113 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 1 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Lại có: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1$.

Do đó $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\sqrt{x}+1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\sqrt{x}+\underset{x\to 1}{\lim }1=\sqrt{1}+1=2$.

HĐ2 trang 113 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số .

a) Cho $x_n=\frac{n}{n+1}$ và ${x^{\text{'}}}_n=\frac{n+1}{n}$. Tính y_n = f(x_n) và y'_n = f(x'_n).

b) Tìm giới hạn của các dãy số (y_n) và (y'_n).

c) Cho các dãy số (x_n) và (x'_n) bất kì sao cho x_n < 1 < x'_n và x_n ⟶ 1, x'_n ⟶ 1, tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left({x^{\text{'}}}_n\right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $x_n=\frac{n}{n+1}<1$ với mọi n $\Rightarrow x_n-1<0$ với mọi n.

Do đó,

Ta cũng có: ${x^{\text{'}}}_n=\frac{n+1}{n}>1$ với mọi n ⇒ x'_n – 1 > 0 với mọi n.

Do đó,

b) Ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-1\right)=-1$; $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y^{\text{'}}}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }1=1$.

c) Ta có:

Vì x_n < 1 < x'_n, suy ra x_n – 1 < 0 và x'_n – 1 > 0 với mọi n.

Do đó, f(x_n) = – 1 và f(x'_n) = 1.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$= – 1 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left({x^{\text{'}}}_n\right)$= 1.

Luyện tập 2 trang 113 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số

Tính $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$.

Lời giải:

Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n < 0 và x_n ⟶ 0, ta có f(x_n) = – x_n.

Do đó $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-x_n\right)=0$.

Tương tự, với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n > 0 và x_n ⟶ 0, ta có f(x_n) = $\sqrt{x_n}$.

Do đó $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{x_n}=0$.

Khi đó, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = 0. Vậy $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ = 0.

HĐ3 trang 114 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực

Cho hàm số $f\left(x\right)=1+\frac{2}{x-1}$ có đồ thị như Hình 5.4.

Giả sử (x_n) là dãy số sao cho x_n > 1, x_n ⟶ +∞. Tính f(x_n) và tìm .

Lời giải:

Với (x_n) là dãy số sao cho x_n > 1, x_n ⟶ +∞.

Ta có: $f\left(x_n\right)=1+\frac{2}{x_n-1}$.

Khi x_n ⟶ +∞ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x_n-1}=0$.

Do đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{x_n-1}\right)=1$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 11 trang 111
• Giải Toán 11 trang 115
• Giải Toán 11 trang 116
• Giải Toán 11 trang 118