Bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

---

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Cánh diều

Bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) $y =\frac{x - 1}{x + 1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$ y = + ∞, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = 1,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = 1. Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{2}{{(x + 1)}^2}$ > 0, với mọi x ≠ – 1.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 1), (1; 0), (– 2; 3) và (– 3; 2).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y =\frac{x - 1}{x + 1}$ được cho ở hình trên.

b) $y =\frac{-2x}{x + 1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$ y = - ∞, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = + ∞. Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = - 2,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - 2. Do đó, đường thẳng y = – 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{-2}{{(x + 1 )}^2}$ < 0, với mọi x ≠ – 1 .

● Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 3), (– 2; – 4), (0; 0) và (1; – 1).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y =\frac{-2x}{x + 1}$ được cho ở hình trên.

c) $y =\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {1}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = x - 2 + \frac{4}{x - 1}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$ y = - ∞, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = + ∞. Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (x - 2)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{4}{x - 1}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (x - 2)]= $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{4}{x - 1}$ = 0. Do đó, đường thẳng y = x – 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{x^2 - 2x - 3}{{(x - 1)}^2}$;

y' = 0 ⇔ x² – 2x – 3 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.   

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 1) và (1; 3).

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y_CĐ = – 5; đạt cực tiểu tại x = 3, y_CT = 3.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 6).

● Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 6), (– 1; – 5), (0; – 6), (2; 4), (3; 3) và (5; 4).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; – 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y =\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$ được cho ở hình trên.

d) $y = \frac{-x^2 + 2x -4}{x - 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = -x - \frac{4}{x - 2}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = - ∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = + ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (-x)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-4}{x - 2}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (-x)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{-4}{x - 2}$= 0. Do đó, đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{-x^2 + 4x}{{(x - 2)}^2}$;

y' = 0 ⇔ – x² + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.  

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (0; 2) và (2; 4); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (4; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 4, y_CĐ = – 6; đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = 2.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

● Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 2; 3), (0; 2), (1; 3), (3; – 7), (4; – 6) và (6; – 7).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{-x^2 + 2x -4}{x - 2}$ được cho ở hình trên.

e) $y = \frac{2x^2 + 3x -5}{x + 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = 2x - 1 - \frac{3}{x + 2}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = + ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (2x - 1)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-3}{x + 2}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (2x - 1)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{-3}{x + 2}$= 0. Do đó, đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} =\frac{2x^2 +8x + 11}{{(x + 2)}^2}= \frac{2{(x + 2)}^2+3}{{(x + 2)}^2}= 2 + \frac{3}{{(x + 2)}^2}$ > 0 với mọi x ≠ – 2;

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (– 2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0 ; -\frac{5}{2}\right)$.

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\frac{2x^2 + 3x -5}{x + 2} = 0$ ta được x = 1 và $x = -\frac{5}{2}$.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (1; 0) và $\left(-\frac{5}{2}; 0\right)$.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 4), $\left(-\frac{5}{2}; 0\right)$, (– 1; – 6), $\left(0 ; -\frac{5}{2}\right)$ và (1; 0).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 2; – 5) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2 + 3x -5}{x + 2}$ được cho ở hình trên.

g) $y = \frac{x^2 - 2x -3}{-x + 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = -x + \frac{3}{x - 2}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = - ∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = - ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = + ∞. Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (-x)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{3}{x - 2}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (-x)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{3}{x - 2}$= 0. Do đó, đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{-x^2 + 4x - 7}{{(-x + 2)}^2}=\frac{-{(x - 2)}^2 - 3}{{(-x + 2)}^2}$ < 0 với mọi x ≠ 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0; -\frac{3}{2}\right)$.

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\frac{x^2 - 2x - 3}{-x + 2}= 0$ ta được x = – 1 và x = 3.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (– 1; 0) và (3; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 0), $\left(0; -\frac{3}{2}\right)$, (1; – 4), (3; 0) và (5; – 4).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x -3}{-x + 2}$ được cho ở hình trên.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 28 Toán 12 Tập 1: Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức ....

• Hoạt động trang 28 Toán 12 Tập 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x² – 2x – 3.....

• Luyện tập 1 trang 29 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$.....

• Luyện tập 2 trang 30 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:a) y = – x³ + 3x – 2; ....

• Luyện tập 3 trang 31 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 6}{-x + 2}$.....

• Luyện tập 4 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{-x + 2}$.....

• Luyện tập 5 trang 34 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{-x^2}{x + 1}$. ....

• Luyện tập 6 trang 35 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x^2+ x - 3}{x + 1}$.....

• Luyện tập 7 trang 41 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 9, góc dốc của con đường trên đoạn [– 1 000; 1 000] lớn nhất tại điểm nào?....

• Bài 1 trang 42 Toán 12 Tập 1: Đồ thị hàm số y = x³ – 3x – 1 là đường cong nào trong các đường cong sau? ....

• Bài 2 trang 42 Toán 12 Tập 1: Đường cong ở Hình 29 là đồ thị của hàm số: ....

• Bài 3 trang 43 Toán 12 Tập 1: Đường cong nào sau đây là đồ thị của hàm số $y = \frac{1 - x}{x + 1}$? ....

• Bài 4 trang 43 Toán 12 Tập 1: Đường cong ở Hình 30 là đồ thị của hàm số: ....

• Bài 5 trang 43 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = 2x³ – 3x² + 1;....

• Bài 7 trang 44 Toán 12 Tập 1: Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng. ....

• Bài 8 trang 44 Toán 12 Tập 1: Xét phản ứng hóa học tạo ra chất C từ hai chất A và B:....