Giải Toán 12 trang 47 Tập 1 Cánh diều

---

Với Giải Toán 12 trang 47 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 1 Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 47.

Giải Toán 12 trang 47 Tập 1 Cánh diều

Bài 8 trang 47 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) f(x) = 2x³ – 6x trên đoạn [– 1; 3];

b) f(x) = $\frac{x^2 + 3x + 6}{x + 2}$ trên đoạn [1; 5];

c) $f\left(x\right) = \frac{\ln (x + 1)}{x + 1}$ trên đoạn [0; 3];

d) f(x) = 2sin 3x + 7x + 1 trên đoạn $\left[\frac{-\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$. 

Lời giải:

a) Ta có f'(x) = 6x² – 6. Khi đó trên khoảng (– 1; 3), f'(x) = 0 khi x = 1.

f(– 1) = 4, f(1) = – 4, f(3) = 36.

Vậy $\underset{[-1; 3]}{max}$f(x) = 36 tại x = 3, $\underset{[-1; 3]}{min}$f(x) = -4 tại x = 1.

b) Ta có f'(x) = $\frac{x^2 + 4x}{{(x + 2)}^2}$. Khi đó trên khoảng (1; 5), không tồn tại x để f'(x) = 0.

f(1) = $\frac{10}{3}$, f(5) = $\frac{46}{7}$.

Vậy $\underset{[1; 5]}{max}$f(x) = $\frac{46}{7}$ tại x = 5, $\underset{[1; 5]}{min}$f(x) = $\frac{10}{3}$ tại x = 1.

c) Ta có f'(x) = $\frac{1 - \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^2}$. Khi đó trên khoảng (0; 3), f'(x) = 0 khi x = e – 1.

f(0) = 0, f(e – 1) = $\frac{1}{e + 1}$, f(3) = $\frac{\ln 4}{4}$.

Vậy $\underset{[0; 3]}{max}$f(x) = $\frac{\ln 4}{4}$ tại x = 3, $\underset{[0; 3]}{min}$f(x) = 0 tại x = 0.

d) Ta có f'(x) = 6cos 3x + 7. Khi đó trên khoảng $\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$, ta có f'(x) > 0.

$f\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{2}\right)= 3 - \frac{7\mathrm{\pi }}{2}$, $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)= \frac{7\mathrm{\pi }}{2}-1$

Vậy $\underset{\left[\frac{-\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]}{max}$f(x) = $\frac{7\mathrm{\pi }}{2}-1$ tại x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, $\underset{\left[\frac{-\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]}{min}$f(x) = 3 - $\frac{7\mathrm{\pi }}{2}$ tại x = -$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Bài 9 trang 47 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 2;

b) y = – x³ + 3x² – 6x;

c) $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$;

d) $y = \frac{x }{2x + 3}$;

e) $y = \frac{x^2 + 2x + 4}{x}$;

g) $y = \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 2}$.

Lời giải:

a) y = x³ – 3x² + 2

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + $\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - $\infty$.

● y' = 3x² – 6x;

y' = 0 ⇔ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞); nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 2; đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = – 2.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình x³ – 3x² + 2 = 0, ta được x = 1, x = $1- \sqrt{3}$, x = 1 + $\sqrt{3}$.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm (1; 0), ($1- \sqrt{3}$; 0), (1 + $\sqrt{3}$; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; – 2), (0; 2), (1; 0), (2; – 2) và (3; 2).

Vậy đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 0).

b) y = – x³ + 3x² – 6x

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x² + 6x – 6 = – 3(x² – 2x + 1) – 3 = – 3(x – 1)² – 3 < 0 với mọi x ∈ ℝ;

● Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (1; – 4), (2; – 8).

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ + 3x² – 6x được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là gốc tọa độ I(1; – 4).

c) $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = + ∞ . Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = 3, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = 3. Do đó, đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{-4}{{(x - 2)}^2}$ < 0, với mọi x ≠ 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $\left(\frac{2}{3}; 0\right)$.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 2; 2), (0; 1),$\left(\frac{2}{3}; 0\right)$ , (1; – 1), (3; 7), (4; 5) và (6; 4).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; 3) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$ được cho ở hình trên.

d) $y = \frac{x}{2x + 3}$

1) Tập xác định: ℝ \ $\left\{-\frac{3}{2}\right\}$.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to {\frac{3}{2}}^{-}}{\lim }$y = + ∞; $\underset{x\to {\frac{3}{2}}^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = $-\frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = $\frac{1}{2}$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = $\frac{1}{2}$. Do đó, đường thẳng y = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{3}{{(2x + 3)}^2}$ > 0, với mọi x ≠ $-\frac{3}{2}$.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ; -\frac{3}{2}\right)$ và $\left(-\frac{3}{2}; +\infty \right)$.

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; 1), (– 2; 2), (– 1; – 1) và (0; 0).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I$\left(\frac{-3}{2};\frac{1}{2}\right)$ của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{x}{2x + 3}$ được cho ở hình trên.

e) $y = \frac{x^2 + 2x + 4}{x}$

1) Tập xác định: ℝ \ {0}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = x + 2+ \frac{4}{x}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$y = + ∞. Do đó, đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (x + 2)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{4}{x}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (x + 2)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{4}{x}$= 0.

Do đó, đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$;

y' = 0 ⇔ x² – 4 = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (2; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 2; 0) và (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = – 2, y_CĐ = – 2; đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = 6.    

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số không cắt các trục tọa độ.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 4; – 3), (– 2; – 2), (– 1; – 3), (1; 7), (2; 6) và (4; 7).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 4}{x}$ được cho ở hình trên.

g) $y = \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = x + 2 - \frac{1}{x + 2}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$y = + ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (x + 2)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-1}{x + 2}$= 0.; $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (x + 2)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{-1}{x + 2}$= 0 Do đó, đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

●$y\text{'} =\frac{x^2 + 4x + 5}{{(x + 2)}^2} =\frac{{(x + 2)}^2 + 1}{{(x + 2)}^2}= 1 + \frac{1}{{(x + 2)}^2}$> 0 với mọi x ≠ – 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (– 2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0; \frac{3}{2}\right)$. 

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\frac{x^2 + 4x + 3}{x + 2}= 0$ ta được x = – 3, x = – 1.

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (– 3; 0) và (– 1; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(-4; -\frac{3}{2}\right)$, (– 3; 0), $\left(-\frac{5}{2}; \frac{3}{2}\right)$,$\left(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2}\right)$, (– 1; 0) và $\left(0; \frac{3}{2}\right)$.

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 2; 0) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 2}$ được cho ở hình trên.

Bài 10 trang 47 Toán 12 Tập 1: Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384 cm². Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, để lề trái và lề phải đều là 2 cm. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?

Lời giải:

Gọi x (cm) là chiều rộng của trang sách.

Khi đó, chiều dài của trang sách là $\frac{384}{x}$ (cm).

Sau khi để lề thì phần in chữ có dạng hình chữ nhật có chiều rộng là x – 4 (cm) và chiều dài là $\frac{384}{x}$- 6 (cm).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 4 < x < 64.

Diện tích phần in chữ trên trang sách là

S(x) = (x - 4)$\left(\frac{384}{x}- 6\right)$= $\frac{-6x^2 + 408x - 1536}{x}$ (cm²).

Xét hàm số S(x) = $\frac{-6x^2 + 408x - 1536}{x}$ với x ∈ (4; 64).

Ta có S'(x) = $\frac{-6x^2 + 1536}{x^2}$ < 0;

S'(x) = 0 ⇔ – 6x² + 1 536 = 0 ⇔ x = – 16 hoặc x = 16.

Khi đó trên khoảng (4; 64), S'(x) = 0 khi x = 16.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (4; 64), hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 216 tại x = 16. Khi đó, $\frac{384}{16}=24$.

Vậy kích thước tối ưu của trang sách là 16 × 24 (cm) thì in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất.

Bài 11 trang 47 Toán 12 Tập 1: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.

Lời giải:

Giả sử chiều dài từng mặt của ba mặt hàng rào song song nhau là x (m).

Chi phí để làm ba mặt hàng rào song song là: 3 ∙ x ∙ 50 000 = 150 000x (đồng).

Chi phí để làm mặt hàng rào song song với bờ sông là: 15 000 000 – 150 000x (đồng).

Chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông là

$\frac{15000000 - 150000x}{60000}= \frac{1500- 15x}{6}$ (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 100.

Giả sử diện tích hàng rào không đáng kể, khi đó diện tích hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là S(x) = $\frac{x(1500-15x)}{6}$= $\frac{-15x^2 + 1500x}{6}$ (m²).

Xét hàm số S(x) = $\frac{-15x^2 + 1500x}{6}$ với x ∈ (0; 100).

Ta có S'(x) = $-\frac{15}{3}x + \frac{1500}{6}$.

Trên khoảng (0; 100), S'(x) = 0 khi x = 50.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (0; 100), hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 6 250 tại x = 50.

Vậy diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là 6 250 m².

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 45
• Giải Toán 12 trang 46
• Giải Toán 12 trang 48