Giải Toán 12 trang 18 Tập 1 Chân trời sáng tạo

---

Với Giải Toán 12 trang 18 Tập 1 trong Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 18.

Giải Toán 12 trang 18 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=x+\frac{4}{x^2}$ trên đoạn [1; 4].

Lời giải:

Có $g^{\text{'}}\left(x\right)=1-\frac{8}{x^3}$; $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 1-\frac{8}{x^3}=0\iff x=2$

Có g(1) = 5; $g\left(2\right)=3$; g(4) = $\frac{17}{4}$.

Vậy $\underset{\left[1;4\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(1\right)=5;\underset{\left[1;4\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(2\right)=3$

Thực hành 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi một cạnh góc vuông của tam giác vuông là x (cm), (0 < x < 5).

Vì tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm nên cạnh còn lại của tam giác vuông là $\sqrt{25-x^2}$(cm).

Diện tích tam giác vuông là $S\left(x\right)=\frac{1}{2}x\sqrt{25-x^2}$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x).

Có $S^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}\right)$;

S'(x) = 0 ⇔ $\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}=0$ $\iff 25-2x^2=0\iff x=\frac{5}{\sqrt{2}}$ (vì 0 < x < 5).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có diện tích lớn nhất của tam giác vuông là $\frac{25}{4}$.

Bài 1 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5.

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị ta thấy

$\underset{\left[1;6\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(1\right)=6;\underset{\left[1;6\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(5\right)=1$

b) Dựa vào đồ thị ta thấy

$\underset{\left[-3;3\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(1\right)=7;\underset{\left[-3;3\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(-3\right)=g\left(-1\right)=1$

Bài 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x³ – 12x + 1 trên đoạn [−1; 3];

b) y = −x³ + 24x² – 180x + 400 trên đoạn [3; 11];

c) $y=\frac{2x+1}{x-2}$ trên đoạn [3; 7];

d) y = sin2x trên đoạn $\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]$.

Lời giải:

a) Có y' = 3x² – 12; y' = 0 Û x = 2 hoặc x = −2 (loại vì x ∈ [−1; 3]).

Có y(−1) = 12; y(2) = −15; y(3) = −8.

Vậy $\underset{\left[-1;3\right]}{\min }y=y\left(2\right)=-15;\underset{\left[-1;3\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=12.$

b) Có y' = −3x² + 48x – 180; y' = 0 Û x = 6 hoặc x = 10.

Có y(3) = 49; y(6) = −32; y(10) = 0; y(11) = −7.

Vậy $\underset{\left[3;11\right]}{\min }y=y\left(6\right)=-32;\underset{\left[3;11\right]}{\max }y=y\left(3\right)=49.$

c) Có $y^{\text{'}}=\frac{2\left(x-2\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=-\frac{5}{{\left(x-2\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\in \left[3;7\right]$.

Có $y\left(3\right)=7;$y(7) = 3.

Vậy $\underset{\left[3;7\right]}{\min }y=y\left(7\right)=3;\underset{\left[3;7\right]}{\max }y=y\left(3\right)=7.$

d) Có y' = 2cos2x; y' = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}$ vì x ∈ $\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]$.

Có y(0) = 0; $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0; y\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2}$

Vậy $\underset{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}{\min }y=y\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2};\underset{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}{\max }y=y\left(0\right)=y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$

Bài 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x – 4 trên nửa khoảng [−3; 2);

b) $y=\frac{3x^2-4x}{x^2-1}$ trên khoảng (−1; +∞).

Lời giải:

a) Có y' = 3x² – 3; y' = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\underset{\left[-3;2\right)}{\max }y=y\left(-1\right)=-2;\underset{\left[-3;2\right)}{\min }y=y\left(-2\right)=-22$

b) Trên khoảng (−1; +∞) hàm số không xác định tại x = 1.

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{\left(6x-4\right)\left(x^2-1\right)-2x\left(3x^2-4x\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}$$=\frac{4x^2-6x+4}{{\left(x^2-1\right)}^2}$$=\frac{4{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{7}{4}}{{\left(x^2-1\right)}^2}>0$

Bảng biến thiên

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (−1; +∞).

Bài 4 trang 18 Toán 12 Tập 1: Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa số có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4 m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Lời giải:

Nửa chu vi khung cửa số là 4 : 2 = 2 (m).

Gọi chiều dài khung cửa sổ là x (m) (0 < x < 2).

Chiều rộng khung cửa sổ là 2 – x (m).

Diện tích khung cửa số là S(x) = x(2 – x) = 2x – x² (m²).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x).

Ta có S'(x) = 2 – 2x; S'(x) = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên

Diện tích của cửa sổ lớn nhất là 1 m² khi đó khung cửa số có dạng hình vuông cạnh 1m.

Bài 5 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\sqrt{1-x^2}+x^2$.

Lời giải:

Tập xác định: D = [−1;1].

Có $y^{\text{'}}=-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}+2x$;

$y^{\text{'}}=0\iff -\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}+2x=0$

$\iff 2x\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0\end{array}\right.$

Có $y\left(-1\right)=1$; y(0) = 2; y(1) = 1.

Vậy $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }y=y\left(0\right)=2;\underset{\left[-1;1\right]}{\min }y=y(-1)=y\left(1\right)=1.$

Bài 6 trang 18 Toán 12 Tập 1: Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức $p=15-\frac{1}{2}q$. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R = pq.

a) Viết công thức biểu diễn R theo p.

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Lời giải:

a) Từ $p=15-\frac{1}{2}q\iff$q = 30 – 2p.

Khi đó R = pq = p(30 – 2p) = −2p² + 30p.

b) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số R = −2p² + 30p với p > 0.

Có R' = −4p + 30; R' = 0 ⇔ p = $\frac{15}{2}$.

Bảng biến thiên

Vậy bán mỗi sản phẩm giá 7,5 nghìn đồng thì đạt doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.

Bài 7 trang 18 Toán 12 Tập 1: Hộp sữa 1 l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi chiều cao của hộp sữa là h (cm), h > 0.

Theo đề ta có V = 1 lít = 1000 cm³ = x².h $\iff h=\frac{1000}{x^2}$.

Diện tích toàn phần của hộp sữa là S(x) = 2x² + 4xh = $2x^2+\frac{4000}{x}$.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S(x) khi x > 0.

Có S'(x) = $4x-\frac{4000}{x^2}$; S'(x) = 0 ⇔ x = 10.

Bảng biến thiên

Vậy diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất khi x = 10 cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay khác:

• Giải Toán 12 trang 14
• Giải Toán 12 trang 16