Giải Toán 12 trang 24 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải bài tập Toán 12 trang 24 Tập 2 trong Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 24.

Giải Toán 12 trang 24 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 24 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x² – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Lời giải:

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-2x-1-\left(x-1\right)\right|dx$$=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-3x\right|dx$.

Ta có x² – 3x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Do đó S$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-3x\right|dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-3x\right|dx$

$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(3x-x^2\right)dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left(x^2-3x\right)dx$$={\left.\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_1^3+{\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right)\right|}_3^4$$=\frac{9}{2}-\frac{7}{6}-\frac{8}{3}+\frac{9}{2}=\frac{31}{6}$

Thực hành 4 trang 24 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = 5x − x², y = x² – x và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Lời giải:

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|5x-x^2-\left(x^2-x\right)\right|dx$$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|6x-2x^2\right|dx$.

Ta có 6x – 2x² = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Do đó $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(6x-2x^2\right)dx={\left.\left(3x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\right|}_0^2=\frac{20}{3}$

Vận dụng 1 trang 24 Toán 12 Tập 2: Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7. Tính diện tích của cửa hầm.

Lời giải:

Chon hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Giả sử (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Vì (P) đi qua các điểm (0; 0), (6; 0), (3; 6) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 36a+6b=0\\ 9a+3b=6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ b=4\\ c=0\end{array}\right.$.

Vậy (P): $y=-\frac{2}{3}{x}^2+4x$.

Bài toán trở thành tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2+4x$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 6.

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{6}{\int }}\left|-\frac{2}{3}{x}^2+4x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{6}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{x}^2+4x\right)dx$$={\left.\left(-\frac{2x^3}{9}+2x^2\right)\right|}_0^6=24$m².

Vậy diện tích của cửa hầm là 24 m².

Hoạt động khám phá 3 trang 24 Toán 12 Tập 2: Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA ⊥ (ABCD), OA = h. Đặt trục số Ox như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x ≤ h), cắt hình chóp O.ABCD theo mặt cắt là hình vuông A'B'C'D'. Kí hiệu S(x) là diện tích của hình vuông A'B'C'D'.

a) Tính S(x) theo a, h và x.

b) Tính $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx$ và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD.

Lời giải:

a) Ta có A'B'C'D' đồng dạng với ABCD theo tỉ số đồng dạng là $\frac{x}{h}$.

Do đó $\frac{S\left(x\right)}{S_{ABCD}}={\left(\frac{x}{h}\right)}^2\Rightarrow S\left(x\right)={\left(\frac{x}{h}\right)}^2.a^2$.

b) $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{h}{\int }}{\left(\frac{x}{h}\right)}^2.a^{2}dx$$=\frac{a^2}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}{x}^{2}dx={\left.\left(\frac{a^2}{h^2}.\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^h$$=\frac{1}{3}{a}^{2}h$.

Có $V_{O.ABCD}=\frac{1}{3}.OA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.h.a^2$.

Vậy $V_{O.ABCD}=\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân hay khác:

• Giải Toán 12 trang 21
• Giải Toán 12 trang 22
• Giải Toán 12 trang 25
• Giải Toán 12 trang 27