Bài 4.15 trang 25 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Bài 4.15 trang 25 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = e^x, y = x² – 1, x = −1, x = 1;

b) y = sinx, y = x, $x=\frac{\pi }{2},x=\pi$;

c) y = 9 – x², y = 2x², $x=-\sqrt{3},x=\sqrt{3}$;

d) $y=\sqrt{x},$ y = x², x = 0, x = 1.

Lời giải:

a)

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-x^2+1\right|dx$$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-x^2+1\right)dx$

$={\left.\left(e^x-\frac{x^3}{3}+x\right)\right|}_{-1}^1$$=e+\frac{2}{3}-e^{-1}+\frac{2}{3}$$=\frac{e^2-1}{e}+\frac{4}{3}$

b) Diện tích cần tính là:

$S=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}\left|\sin x-x\right|dx$$=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}\left(x-\sin x\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^2}{2}+\cos x\right)\right|}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }$$=\frac{{\pi }^2}{2}-1-\frac{{\pi }^2}{8}=\frac{3{\pi }^2}{8}-1$

c)

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left|9-x^2-2x^2\right|dx$$=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left|9-3x^2\right|dx$$=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left(9-3x^2\right)dx$

$={\left.\left(9x-x^3\right)\right|}_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$$=9\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}-3\sqrt{3}$$=12\sqrt{3}$

d)

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\sqrt{x}-x^2\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$$={\left.\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^1$$=\frac{1}{3}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 19 Toán 12 Tập 2: Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = −2; x = 1 (H.4.12) ....

• Luyện tập 1 trang 20 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x² – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15) ....

• HĐ2 trang 20 Toán 12 Tập 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x² + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16) ....

• Luyện tập 2 trang 21 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=\sqrt{x}$, y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4 ....

• Vận dụng 1 trang 22 Toán 12 Tập 2: Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm ....

• HĐ3 trang 22 Toán 12 Tập 2: Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b) (H.4.20) ....

• Vận dụng 2 trang 23 Toán 12 Tập 2: Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S₀, S₁ và chiều cao bằng h (H.4.24) ....

• HĐ4 trang 24 Toán 12 Tập 2: Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4 ....

• Vận dụng 3 trang 25 Toán 12 Tập 2: a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r ....

• Bài 4.14 trang 25 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29 ....

• Bài 4.16 trang 25 Toán 12 Tập 2: Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia ....

• Bài 4.17 trang 26 Toán 12 Tập 2: Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: y = 2x – x², y = 0, x = 0, x = 2 ....

• Bài 4.18 trang 26 Toán 12 Tập 2: Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y=\sqrt{R^2-x^2}$ ....

• Bài 4.19 trang 26 Toán 12 Tập 2: Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và $\widehat{AOB}=\alpha \left(0<\alpha \le \frac{\pi }{4}\right)$ ....