Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

---

Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Giải Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian - Kết nối tri thức

Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra SO ⊥ AC, SO ⊥ BD nên SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = $115\sqrt{2}$.

Xét tam giác SOB vuông tại O, có $SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{{219}^2-{\left(115\sqrt{2}\right)}^2}=7\sqrt{439}$

Ta có $A\left(-115\sqrt{2};0;0\right),B\left(0;-115\sqrt{2};0\right),C\left(115\sqrt{2};0;0\right),S\left(0;0;7\sqrt{439}\right)$

Ta có $\overrightarrow{SA}=\left(-115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}\right),\overrightarrow{SB}=\left(0;-115\sqrt{2};-7\sqrt{439}\right),$

$\overrightarrow{SC}=\left(115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}\right)$

Ta có $\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB}\right]=$$\left(\left|\begin{array}{cc}0& -7\sqrt{439}\\ -115\sqrt{2}& -7\sqrt{439}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-7\sqrt{439}& -115\sqrt{2}\\ -7\sqrt{439}& 0\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-115\sqrt{2}& 0\\ 0& -115\sqrt{2}\end{array}\right|\right)$

$=\left(-805\sqrt{878};-805\sqrt{878};26450\right)$

$\left[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-115\sqrt{2}& -7\sqrt{439}\\ 0& -7\sqrt{439}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-7\sqrt{439}& 0\\ -7\sqrt{439}& 115\sqrt{2}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}0& -115\sqrt{2}\\ 115\sqrt{2}& 0\end{array}\right|\right)$

$=\left(805\sqrt{878};-805\sqrt{878};26450\right)$

Mặt phẳng (SAB) nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB}\right]=\left(-161\sqrt{878};-161\sqrt{878};5290\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SBC) nhận $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}\right]=\left(161\sqrt{878};-161\sqrt{878};5290\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

$\begin{array}{l}\cos \left(\left(SAB\right),\left(SBC\right)\right)\\ =\frac{\left|-{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2\right|}{\sqrt{{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2}.\sqrt{{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2}}\end{array}$

$=\frac{{5290}^2}{{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2}$$\approx \mathrm{0,3807}$

Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 50 Toán 12 Tập 2: Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m ....

• HĐ1 trang 50 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ và ∆' tương ứng có các vectơ chỉ phương ....

• Luyện tập 1 trang 51 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-2}$ ....

• HĐ2 trang 51 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) ....

• Luyện tập 2 trang 51 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) ....

• HĐ3 trang 52 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right), \overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$ ....

• Luyện tập 3 trang 52 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P) $x-\sqrt{2}y+z-2=0$ và (Oxz): y = 0 ....

• Vận dụng trang 53 Toán 12 Tập 2: Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu ....

• Bài 5.20 trang 53 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng: ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\\ z=2+3t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\frac{x-2}{-1}=\frac{x+1}{1}=\frac{z-2}{2}$ ....

• Bài 5.21 trang 53 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P): x + 2y – z – 1 = 0 ....

• Bài 5.22 trang 53 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0 ....

• Bài 5.24 trang 53 Toán 12 Tập 2: (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang ....