HĐ10 trang 38 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).

Giải Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng - Kết nối tri thức

HĐ10 trang 38 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$. Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).

a) Giải thích vì sao tồn tại số k để $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{n}$. Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{n}\right|$, hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên $MN\perp \left(P\right)$

Do đó $\overrightarrow{MN}$ sẽ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$

Vậy tồn tại một số k sao cho $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{n}$

Giả sử N(x₁; y₁; z₁). Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(x_1-x_0;y_1-y_0;z_1-z_0\right)$

Vì $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{n}$ nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_0=kA\\ y_1-y_0=kB\\ z_1-z_0=kC\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=x_0+kA\\ y_1=y_0+kB\\ z_1=z_0+kC\end{array}\right.$

b) Thay tọa độ điểm N vào (P), ta được

A(x₀ + kA) + B(y₀ + kB) + C(z₀ + kC) + D = 0

⇔ k(A² + B² + C²) + Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0

$\iff k=\frac{-A{x}_0-B{y}_0-C{z}_0-D}{A^2+B^2+C^2}$

c) Ta có $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{n}\right|$$\iff \left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|k\right|\sqrt{A^2+B^2+C^2}$

Mà $k=\frac{-A{x}_0-B{y}_0-C{z}_0-D}{A^2+B^2+C^2}$ nên $MN=\left|\frac{-A{x}_0-B{y}_0-C{z}_0-D}{A^2+B^2+C^2}\right|\sqrt{A^2+B^2+C^2}$

$\iff MN=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Do đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 29 Toán 12 Tập 2: Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) ....

• HĐ1 trang 29 Toán 12 Tập 2: Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến $\overrightarrow{n}$, giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với mặt bàn ....

• Luyện tập 1 trang 30 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 3), B(−3; 0; 1). Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ....

• HĐ2 trang 30 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(a^{\text{'}};b^{\text{'}};c^{\text{'}}\right)$. ....

• Luyện tập 2 trang 31 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{u}=\left(2;3;1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(4;6;2\right)$. Tính $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ ....

• HĐ3 trang 31 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P) ....

• Luyện tập 3 trang 31 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(1; −2; 1), B(−2; 1; 0), C(−2; 3; 2) ....

• Vận dụng 1 trang 31 Toán 12 Tập 2: Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể ....

• HĐ4 trang 32 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ là một vectơ pháp tuyến của (α) ....

• Luyện tập 4 trang 32 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng? ....

• Luyện tập 5 trang 33 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x + 2 = 0. ....

• HĐ5 trang 33 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ ....

• Luyện tập 6 trang 33 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; −4) và vuông góc với trục Oz ....

• HĐ6 trang 33 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(a^{\text{'}};b^{\text{'}};c^{\text{'}}\right)$ ....

• Luyện tập 7 trang 34 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ....

• HĐ7 trang 34 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng: A(1; 2; 3), B(−1; 3; 4), C(2; −1; 2) ....

• Luyện tập 8 trang 35 Toán 12 Tập 2: (H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm ....

• Vận dụng 2 trang 35 Toán 12 Tập 2: Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra ....

• HĐ8 trang 35 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0 ....

• Luyện tập 9 trang 36 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không? (α): 3x + y – z + 1 = 0, (β): 9x + 3y – 3z + 3 = 0 ....

• Vận dụng 3 trang 36 Toán 12 Tập 2: (H.5.10) Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), $C\left(0;2\sqrt{2};0\right)$ ....

• HĐ9 trang 37 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'x + D' = 0, với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$ ....

• Luyện tập 10 trang 37 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): 5x + 2y – 4z + 6 = 0 và (β): 10x + 4y – 2z + 12 = 0 ....

• Vận dụng 4 trang 37 Toán 12 Tập 2: Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh ....

• Luyện tập 11 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y + z + 2 = 0 và (Q): x + 3y + z + 5 = 0 ....

• Vận dụng 5 trang 39 Toán 12 Tập 2: (H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) ....

• Bài 5.1 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox ....

• Bài 5.2 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2) ....

• Bài 5.3 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y – z = 0, (R): x + y – z = 0 ....

• Bài 5.4 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0 ....

• Bài 5.5 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 1 = 0 ....

• Bài 5.6 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0 ....

• Bài 5.7 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0 ....

• Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2: Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều ....

• Bài 5.9 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng z – 1 = 0 ....

• Bài 5.10 trang 40 Toán 12 Tập 2: Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) ....