Giải Toán 12 trang 25 Tập 1 Kết nối tri thức

---

Với Giải Toán 12 trang 25 Tập 1 trong Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 25.

Giải Toán 12 trang 25 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 1.16 trang 25 Toán 12 Tập 1: Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2-1}$. Sử dụng đồ thị này, hãy:

a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$.

b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2;\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

b) y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x = 1 và x = −1 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 1.17 trang 25 Toán 12 Tập 1: Đường thẳng x = 1 có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$ không?

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+3\right)=4.$

Tương tự $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+3\right)=4.$

Do đó đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$.

Bài 1.18 trang 25 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=\frac{3-x}{2x+1}$;                                              b) $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Lời giải:

a) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}.$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}.$

Vậy $y=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=+\infty$;

Tương tự $\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=-\infty$.

Vậy $x=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=+\infty ; \underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=-\infty$

Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}$

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x+2}=0$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x+2}=0$

Vậy y = 2x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 1.19 trang 25 Toán 12 Tập 1: Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là C(x) = 2x + 50 (triệu đồng).

Khi đó $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$. Tính chất này nói lên điều gì?

Lời giải:

Có $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+50}{x}=2+\frac{50}{x}$

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{50}{x^2}<0$. Do đó hàm số f(x) giảm.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{50}{x}\right)=2.$

Tính chất này nói lên rằng chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm khi số lượng sản phẩm được sản xuất tăng lên và giới hạn của chi phí trung bình là 2 triệu đồng khi số lượng sản phẩm tiến gần đến vô cùng. Điều này có thể hiểu là khi sản xuất nhiều sản phẩm hơn, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm và tiến gần đến một giá trị ổn định.

Bài 1.20 trang 25 Toán 12 Tập 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144 m². Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m).

a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) mét của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x).

Lời giải:

a) Cạnh còn lại của mảnh vườn có độ dài là $\frac{144}{x}$(m) (x > 0).

Chu vi mảnh vườn là $P\left(x\right)=2\left(x+\frac{144}{x}\right)=\frac{2x^2+288}{x}$ (m) x > 0).

b) Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x^2+288}{x}=+\infty$

Tương tự $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2x^2+288}{x}=-\infty$

Vậy x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[P\left(x\right)-2x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2\left(x+\frac{144}{x}\right)-2x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{288}{x}=0$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[P\left(x\right)-2x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2\left(x+\frac{144}{x}\right)-2x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{288}{x}=0.$

Do đó y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay khác:

• Giải Toán 12 trang 20
• Giải Toán 12 trang 21
• Giải Toán 12 trang 22