Giải Toán 12 trang 28 Tập 2 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải bài tập Toán 12 trang 28 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 4 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 28.

Giải Toán 12 trang 28 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 4.26 trang 28 Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{1-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (S) quanh trục Ox là

A. $\frac{3\pi }{4}$

B. $\frac{3\pi }{2}$

C. $\frac{2\pi }{3}$

D. $\frac{4\pi }{3}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Thể tích cần tìm là:

$V=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(1-x^2\right)dx$$=\pi {\left.\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-1}^1$$=\pi \left(1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4\pi }{3}$

Bài 4.27 trang 28 Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động có gia tốc là a(t) = 3t² + t (m/s²). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là

A. 8 m/s.

B. 10 m/s.

C. 12 m/s.

D. 16 m/s.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Có $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int \left(3t^2+t\right)dt=t^3+\frac{t^2}{2}+C$

Vì v(0) = 2 nên C = 2.

Do đó $v\left(t\right)=t^3+\frac{t^2}{2}+2$

Vậy $v\left(2\right)=2^3+\frac{2^2}{2}+2=12$ (m/s).

Bài 4.28 trang 28 Toán 12 Tập 2: Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y=2^x-\frac{1}{x}$

b) $y=x\sqrt{x}+3\cos x-\frac{2}{{\sin }^{2}x}$

Lời giải:

a) $\int \left(2^x-\frac{1}{x}\right)dx=\int 2^{x}dx-\int \frac{1}{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}-\ln \left|x\right|+C$

b) $\int \left(x\sqrt{x}+3\cos x-\frac{2}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=\int x^{\frac{3}{2}}dx+3\int \cos xdx-2\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

$=\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+3\sin x+2\cot x+C$

Bài 4.29 trang 28 Toán 12 Tập 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn điều kiện $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=-1$.

Lời giải:

Có $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int \left(2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=2\int \cos xdx+\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

$=2\sin x-\cot x+C$

Vì $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=-1$ nên $2\sin \frac{\pi }{4}-\cot \frac{\pi }{4}+C=-1$$\Rightarrow C=-\sqrt{2}$

Vậy $F\left(x\right)=2\sin x-\cot x-\sqrt{2}$

Bài 4.30 trang 28 Toán 12 Tập 2: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s². Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.

Lời giải:

Chọn chiều dương là chiều hướng từ mặt đất lên.

Ta có a = −9,8 m/s². Do đó v(t) = −9,8t + C.

Vì v(0) = 30 nên C = 30. Do đó v(t) = −9,8t + 30.

Vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây là: v(2) = −9,8.2 + 30 = 10,4 m/s.

Bài 4.31 trang 28 Toán 12 Tập 2: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là $v\left(t\right)=-\frac{2t}{5}+4$(km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu t = 0 là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có $s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int \left(-\frac{2}{5}t+4\right)dt=-\frac{t^2}{5}+4t+C$

Vì thời điểm ban đầu t = 0 là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông nên s(0) = 0, suy ra C = 0.

Do đó $s\left(t\right)=-\frac{t^2}{5}+4t$

Ta có $s\left(t\right)=-\frac{1}{5}\left(t^2-20t\right)=-\frac{1}{5}\left(t^2-20t+100\right)+20=-\frac{1}{5}{\left(t-10\right)}^2+20\le \mathrm{20,}\forall t\ge 0$

Vậy khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi là 20 km.

Bài 4.32 trang 28 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(x^3-2\sqrt{x}\right)dx$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(\cos x-\sin x\right)dx$

c) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}$

d) $\underset{1}{\overset{16}{\int }}\frac{x-1}{\sqrt{x}}dx$

Lời giải:

a) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(x^3-2\sqrt{x}\right)dx$$=\underset{1}{\overset{4}{\int }}{x}^{3}dx-2\underset{1}{\overset{4}{\int }}{x}^{\frac{1}{2}}dx$$={\left.\left(\frac{x^4}{4}-\frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right)\right|}_1^4$$=\frac{160}{3}+\frac{13}{12}=\frac{653}{12}$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(\cos x-\sin x\right)dx$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx$$={\left.\left(\sin x+\cos x\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}=1-1=0$

c) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}={\left.-\cot x\right|}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}=-1+\sqrt{3}$

d) $\underset{1}{\overset{16}{\int }}\frac{x-1}{\sqrt{x}}dx$$=\underset{1}{\overset{16}{\int }}\sqrt{x}dx-\underset{1}{\overset{16}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$$=\underset{1}{\overset{16}{\int }}{x}^{\frac{1}{2}}dx-\underset{1}{\overset{16}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}}dx$

$={\left.\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}\right)\right|}_1^{16}$$=\frac{104}{3}+\frac{4}{3}=36$

Bài 4.33 trang 28 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x, y = x, x = 0 và x = 1.

Lời giải:

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-x\right)dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx$$={\left.\left(e^x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1=e-\frac{1}{2}-1=e-\frac{3}{2}$

Bài 4.34 trang 28 Toán 12 Tập 2: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:

a) y = 1 – x², y = 0, x = −1, x = 1;

b) $y=\sqrt{25-x^2},y=\mathrm{0,}x=\mathrm{2,}x=4$

Lời giải:

a) Thể tích cần tìm là:

$V=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left(1-x^2\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(1-2x^2+x^4\right)dx$

$={\left.\pi \left(x-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^5}{5}\right)\right|}_{-1}^1$$=\pi \left(\frac{8}{15}+\frac{8}{15}\right)=\frac{16\pi }{15}$

b) Thể tích cần tìm là:

$V=\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}\left(25-x^2\right)dx$$={\left.\pi \left(25x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_2^4$$=\pi \left(\frac{236}{3}-\frac{142}{3}\right)=\frac{94\pi }{3}$

Bài 4.35 trang 28 Toán 12 Tập 2: Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5\left(0\le x\le 30\right)$ (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm³ đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.

Lời giải:

Thể tích đất sét cần sử dụng là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{31}{\int }}{\left(\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5\right)}^{2}dx-\pi \underset{0}{\overset{30}{\int }}{\left(\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5\right)}^{2}dx$

$=\pi \underset{0}{\overset{30}{\int }}{\left(\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5\right)}^{2}dx+\pi \underset{30}{\overset{31}{\int }}{\left(\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5\right)}^{2}dx-\pi \underset{0}{\overset{30}{\int }}{\left(\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5\right)}^{2}dx$

$=\pi \underset{30}{\overset{31}{\int }}{\left(\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5\right)}^{2}dx$

$=\pi \underset{30}{\overset{31}{\int }}\left(\frac{1}{{175}^2}{x}^4+\frac{9}{1225}{x}^2+25+\frac{6}{6125}{x}^3+\frac{2}{35}{x}^2+\frac{6}{7}x\right)dx$

$=\pi \underset{30}{\overset{31}{\int }}\left(\frac{1}{{175}^2}{x}^4+\frac{6}{6125}{x}^3+\frac{79}{1225}{x}^2+\frac{6}{7}x+25\right)dx$

$=\pi {\left.\left(\frac{x^5}{153125}+\frac{3x^4}{12250}+\frac{79x^3}{3675}+\frac{3x^2}{7}+25x\right)\right|}_{30}^{31}$

$\approx \pi \left(\mathrm{2240,4}-\mathrm{2073,2}\right)=\mathrm{167,2}\pi$ (cm³).

Vậy để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng 167,2π cm³ đất sét.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 4 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 27