Giải Toán 7 trang 118 Tập 2 Cánh diều
Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 7 trang 118 Tập 2 trong Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác Toán 7 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Toán 7 trang 118.
Giải Toán 7 trang 118 Tập 2 Cánh diều
Luyện tập 3 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB, BH ⊥ AC hay CN ⊥ AB, BM ⊥ AC.
Lại có H là trọng tâm của tam giác ABC nên BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Khi đó BM vuông góc với AC tại trung điểm M của AC nên BM là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Do đó BA = BC (1).
Do CN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB nên CN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó CA = CB (2).
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.
Bài 1 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:
a) AH và BC;
b) BH và CA;
c) CH và AB.
Lời giải:
a) H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.
b) H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ CA.
c) H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB.
Bài 2 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
Lời giải:
a) Ta có hình vẽ sau:
Ta thấy H nằm trong tam giác ABC.
b) Ta có hình vẽ sau:
Ta thấy trong tam giác ABC: AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.
Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó A trùng H.
c) Ta có hình vẽ sau:
Ta thấy H nằm ngoài tam giác ABC.
Bài 3 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc với CA thì DC vuông góc với AB.
Lời giải:
Tam giác ABC có DA ⊥ BC, DB ⊥ CA.
Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó DC ⊥ AB.
Bài 4 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, . Tính và .
Lời giải:
Xét ∆AFC vuông tại F: (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).
Suy ra hay .
Xét ∆BEA vuông tại E: (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).
Suy ra 90° - 65° = 25° hay .
Bài 5 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.
Lời giải:
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB và AH ⊥ BC.
Do K là trực tâm của tam giác ADC nên AK ⊥ CD và CK ⊥ AD.
Do AB // CD nên AK ⊥ AB.
Mà CH ⊥ AB nên AK // CH.
Do AD // BC nên AH ⊥ AD.
Mà CK ⊥ AD nên AH // CK.
Bài 6 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;
b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải:
a)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và .
Do M là trung điểm của BC nên BM = CM.
Xét ∆AMB và ∆AMC có:
AB = AC (chứng minh trên).
(chứng minh trên).
BM = CM (chứng minh trên).
Do đó ∆AMB = ∆AMC (c - g - c).
Suy ra (2 góc tương ứng) và (2 góc tương ứng).
Do , mà nên .
Khi đó AM vuông góc với BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Lại có nên AM là đường phân giác của .
Thực hiện tương tự ta chứng minh được BN là đường trung trực của đoạn thẳng CA và BN là đường phân giác của .
CP là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CP là đường phân giác của .
Mà AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G, H, I, O trùng nhau.
b)
Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến BC, CA, AB.
Khi đó HN ⊥ AC.
Mà H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.
HN ⊥ AC, BH ⊥ AC nên B, H, N thẳng hàng.
Xét ∆APH vuông tại P và ∆CMH vuông tại M có:
(2 góc đối đỉnh).
HP = HM (theo giả thiết).
Do đó ∆APH = ∆CMH (góc nhọn - cạnh góc vuông).
Suy ra HA = HC (2 cạnh tương ứng).
Xét ∆HNA vuông tại N và ∆HNC vuông tại N có:
HN chung.
HA = HC (chứng minh trên).
Do đó ∆HNA = ∆HNC (2 cạnh góc vuông).
Suy ra AN = CN (2 cạnh tương ứng).
Khi đó N là trung điểm của AC.
HN ⊥ AC tại trung điểm N của AC nên HN là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Mà B, H, N thẳng hàng nên B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Do đó BA = BC.
Thực hiện tương tự, ta chứng minh được CA = CB.
Do đó AB = BC = CA.
Vậy tam giác ABC đều.
Lời giải bài tập Toán lớp 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác Cánh diều hay khác:
