X

Giải Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 trang 84 Tập 2 Chân trời sáng tạo


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 7 trang 84 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 8 Toán lớp 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Toán 7 trang 84.

Giải Toán 7 trang 84 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A (A^<90°). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ΔBEC=ΔCFB.

b) Chứng minh rằng ΔAHF=ΔAHE.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90 độ ). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Tam giác ABC cân tại A nên ABC^=ACB^và AB = AC.

Xét ΔBECvuông tại E và ΔCFBvuông tại F có:

ECB^=FBC^(chứng minh trên).

BC chung.

Do đó ΔBEC=ΔCFB(cạnh huyền - góc nhọn).

b) Do ΔBEC=ΔCFB(cạnh huyền - góc nhọn) nên EC = FB (2 cạnh tương ứng).

Mà AB = AC nên AB - FB = AC - EC hay AF = AE.

Xét ΔAHFvuông tại F và ΔAHEvuông tại E có:

AF = AE (chứng minh trên).

AH chung.

Do đó ΔAHF=ΔAHE(cạnh huyền - cạnh góc vuông).

c) DABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của ABC.

Suy ra AH BC (1).

Xét AIB và AIC có:

AB = AC (chứng minh trên).

IB = IC (do I là trung điểm của BC).

AI chung.

Suy ra AIB = AIC (c.c.c).

Do đó AIB^=AIC^(2 góc tương ứng).

AIB^+AIC^=180°nên AIB^+AIB^=180°hay 2AIB^=180°.

Suy ra AIB^=AIC^=90°.

Do đó AI BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng.

Bài 2 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh rằng tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng ΔABC=ΔMBC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH

a) Xét ΔAHBvuông tại H và ΔMHBvuông tại H có:

AH = MH (theo giả thiết).

BH chung.

Do đó ΔAHB=ΔMHB(2 cạnh góc vuông).

Suy ra AB = MB (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABM có AB = MB nên tam giác ABM cân tại B.

b) Do ΔAHB=ΔMHB(2 cạnh góc vuông) nên ABH^=MBH^(2 góc tương ứng).

Xét ΔABCΔMBCcó:

AB = MB (chứng minh trên).

ABC^=MBC^(chứng minh trên).

BC chung.

Do đó ΔABC=ΔMBC(c - g - c).

Bài 3 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC.

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Chứng minh rằng ADB^=BAH^.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH

a) Trên tia đối của HC lấy D sao cho HC = HD nên H là trung điểm của CD.

AH CD tại trung điểm H của CD nên AH là đường trung trực của CD.

Do đó AC = AD.

b) Tam giác ACD có AC = AD nên tam giác ACD cân tại A.

Do đó ADB^=ACB^.

Trong tam giác ABC vuông tại A: ACB^+ABC^=90°(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra ACB^=90°ABC^.

Trong tam giác ABH vuông tại H: BAH^+ABH^=90°(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra BAH^=90°ABH^.

Do đó ACB^=BAH^.

ACB^=ADB^nên ADB^=BAH^.

Bài 4 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE AN (E AN).

a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN.

a) Xét BEA vuông tại E và BEN vuông tại E có:

BA = BN (theo giả thiết).

BE chung.

Suy ra BEA = BEN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Do đó EBA^=EBN^(2 góc tương ứng).

Mà BE nằm trong ABN^nên BE là tia phân giác của ABN^.

b) Tam giác BAN có hai đường cao AH và BE cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác BAN.

Do đó NK AB.

Mà AC AB nên NK // AC.

c) Do BE là tia phân giác của ABN^nên ABE^=NBE^.

Xét ΔABFΔNBFcó:

AB = NB (theo giả thiết).

ABF^=NBF^(chứng minh trên).

BF chung.

Do đó ΔABF=ΔNBF(c.g.c).

Suy ra AF = NF (2 cạnh tương ứng) và BAF^=BNF^=90°(2 góc tương ứng).

Do đó FN BC.

Xét ΔAFGvuông tại A và ΔNFCvuông tại N có:

AF = NF (chứng minh trên).

AFG^=NFC^(2 góc đối đỉnh).

Do đó ΔAFG=ΔNFC(góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AG = NC (2 cạnh tương ứng).

Mà BA = BN nên BA + AG = BN + NC hay BG = BC.

Tam giác BGC có BG = BC nên tam giác BGC cân tại B.

Bài 5 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng BMN^=HAC^.

b) Kẻ MI AH (I AH), gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH

a) Do M nằm trên đường trung trực của BC nên MB = MC.

Xét ΔBMNvuông tại N và ΔCMNvuông tại N có:

MB = MC (chứng minh trên).

MN chung.

Do đó ΔBMN=ΔCMN(cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BMN^=CMN^(2 góc tương ứng) (1).

Do MN BC, AH BC nên MN // AH.

Do đó CMN^=HAC^(2 góc đồng vị) (2).

Từ (1) và (2) suy ra BMN^=HAC^.

b) Do ΔBMN=ΔCMN(cạnh huyền - cạnh góc vuông) nên MBN^=MCN^(2 góc tương ứng).

Do MI AH, BC AH nên MI // BC.

Do đó AMI^=MCN^(2 góc đồng vị) và KMI^=MBN^(2 góc so le trong).

Do đó AMI^=KMI^.

Xét ΔAMIvuông tại I và ΔKMIvuông tại I có:

AMI^=KMI^(chứng minh trên).

MI chung.

Do đó ΔAMI=ΔKMI(góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AI = KI (2 cạnh tương ứng).

Mà I nằm giữa A và K nên I là trung điểm của AK.

Bài 6 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FD = FN.

a) Chứng minh rằng ΔMFN=ΔPFD.

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của DP. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Lời giải:

<Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G

a) Tam giác MNP có đường trung tuyến NF nên F là trung điểm của MP.

Do đó FM = FP.

Xét ΔMFNΔPFDcó:

MF = PF (chứng minh trên).

MFN^=PFD^(2 góc đối đỉnh).

FN = FD (theo giả thiết).

Do đó ΔMFN=ΔPFD(c.g.c).

b) Tam giác MNP có G là giao điểm hai đường trung tuyến ME và NF nên G là trọng tâm của tam giác MNP.

Do đó NG = 23NF.

Suy ra GF = 13NF.

Do F là trung điểm của GH nên GF = HF.

Suy ra HF = 13NF.

Mà NF = DF nên HF = 13DF.

Suy ra DH = 23DF.

Tam giác MDP có đường trung tuyến DF và DH = 23DF nên H là trọng tâm của tam giác MDP.

Lại có MK là đường trung tuyến của tam giác MDP nên M, H, K thẳng hàng.

Bài 7 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12AC, AD là tia phân giác BAC^(D BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB.

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH KC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1/2 AC, AD là tia phân giác góc BAC

a) Do E là trung điểm của AC nên AE = 12AC.

Mà AB = 12AC nên AE = AB.

Do AD là tia phân giác của BAC^nên BAD^=EAD^.

Xét ΔBADΔEADcó:

AB = AE (chứng minh trên).

BAD^=EAD^(chứng minh trên).

AD chung.

Do đó ΔBAD=ΔEAD(c.g.c).

Suy ra DB = DE (2 cạnh tương ứng).

b) Do ΔBAD=ΔEAD(c.g.c) nên ADB^=ADE^(2 góc tương ứng).

KDB^=CDE^(2 góc đối đỉnh) nên ADB^+KDB^=ADE^+CDE^hay ADK^=ADC^.

Xét ΔADKΔADCcó:

DAK^=DAC^(chứng minh trên).

AD chung.

ADK^=ADC^(chứng minh trên).

Do đó ΔADK=ΔADC(g.c.g).

Suy ra DK = DC (2 cạnh tương ứng) và AK = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác DCK có DK = DC nên tam giác DCK cân tại D.

Do AK = AC, mà AC = 2AB nên AK = 2AB.

Mà A, B, K thẳng hàng nên B là trung điểm của AK.

c) Do AD là đường phân giác của BAC^nên BAD^=CAD^hay KAH^=CAH^(2 góc tương ứng).

Xét KAH và CAH có:

AK = AC (chứng minh trên).

KAH^=CAH^(chứng minh trên).

AH chung.

Suy ra KAH = CAH (c.g.c).

Do đó AHK^=AHC^(2 góc tương ứng).

AHK^+AHC^=180°nên AHK^+AHK^=180°hay 2AHK^=180°.

Suy ra AHK^=AHC^=90°.

Do đó AH KC.

Bài 8 trang 84 Toán 7 Tập 2: Ở Hình 1, cho biết AE = AF và ABC^=ACB^. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC.

Ở Hình 1, cho biết AE = AF và góc ABC = ACB

Lời giải:

Ở Hình 1, cho biết AE = AF và góc ABC = ACB

Tam giác ABC có ABC^=ACB^nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC.

Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC (1).

Mà AE = AF nên AB - AE = AC - AF hay BE = CF.

Xét ΔEBCΔFCBcó:

BE = CF (chứng minh trên).

EBC^=FCB^(theo giả thiết).

BC chung.

Do đó ΔEBC=ΔFCB(c.g.c).

Suy ra ECB^=FBC^(2 góc tương ứng) hay HCB^=HBC^.

Tam giác HBC có HCB^=HBC^nên tam giác HBC cân tại H.

Do đó HB = HC.

Suy ra H nằm trên đường trung trực của BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của BC.

Bài 9 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng EBH^=ACM^.

c) Chứng minh rằng EBBC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M

a) Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM nên H là trung điểm của ME.

Ta thấy BH vuông góc với ME tại trung điểm H của ME nên BH là đường trung trực của ME.

Do đó BM = BE.

Tam giác MBE có BM = BE nên tam giác MBE cân tại B.

b) Trong ΔBHMvuông tại H: HBM^+BMH^=90°(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra HBM^=90°BMH^.

Trong ΔCAMvuông tại A: ACM^+CMA^=90°(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra ACM^=90°CMA^.

BMH^=CMA^(2 góc đối đỉnh) nên HBM^=ACM^(1).

Xét ΔBHEvuông tại H và ΔBHMvuông tại H có:

BH chung.

HE = HM (theo giả thiết).

Do đó ΔBHE=ΔBHM(2 cạnh góc vuông).

Suy ra EBH^=MBH^(2 góc tương ứng) (2).

Từ (1) và (2) suy ra EBH^=ACM^.

c) Do CM là tia phân giác của BCA^nên BCM^=ACM^.

Xét ΔBHCvuông tại H: HBC^+BCH^=90°(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra HBC^+ACM^=90°.

EBH^=ACM^nên HBC^+EBH^=90°hay EBC^=90°.

Do đó EB >BC.

Bài 10 trang 84 Toán 7 Tập 2: Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Lời giải:

Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K

Xét tam giác MIK có MJ IK, IN MK.

Mà MJ cắt IN tại N nên N là trực tâm của tam giác MIK.

Do đó NK vuông góc với MI.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: