Giải Toán 7 trang 84 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 7 trang 84 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 8 Toán lớp 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Toán 7 trang 84.

Giải Toán 7 trang 84 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A ($\hat{A}<90°$). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng $\Delta BEC=\Delta CFB$.

b) Chứng minh rằng $\Delta AHF=\Delta AHE$.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Lời giải:

a) Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$và AB = AC.

Xét $\Delta BEC$vuông tại E và $\Delta CFB$vuông tại F có:

$\widehat{ECB}=\widehat{FBC}$(chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\Delta BEC=\Delta CFB$(cạnh huyền - góc nhọn).

b) Do $\Delta BEC=\Delta CFB$(cạnh huyền - góc nhọn) nên EC = FB (2 cạnh tương ứng).

Mà AB = AC nên AB - FB = AC - EC hay AF = AE.

Xét $\Delta AHF$vuông tại F và $\Delta AHE$vuông tại E có:

AF = AE (chứng minh trên).

AH chung.

Do đó $\Delta AHF=\Delta AHE$(cạnh huyền - cạnh góc vuông).

c) DABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của $△$ABC.

Suy ra AH $\perp$ BC (1).

Xét $△$AIB và $△$AIC có:

AB = AC (chứng minh trên).

IB = IC (do I là trung điểm của BC).

AI chung.

Suy ra $△$AIB = $△$AIC (c.c.c).

Do đó $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$(2 góc tương ứng).

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180°$nên $\widehat{AIB}+\widehat{AIB}=180°$hay $2\widehat{AIB}=180°$.

Suy ra $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$.

Do đó AI $\perp$ BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng.

Bài 2 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh rằng tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng $\Delta ABC=\Delta MBC$.

Lời giải:

a) Xét $\Delta AHB$vuông tại H và $\Delta MHB$vuông tại H có:

AH = MH (theo giả thiết).

BH chung.

Do đó $\Delta AHB=\Delta MHB$(2 cạnh góc vuông).

Suy ra AB = MB (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABM có AB = MB nên tam giác ABM cân tại B.

b) Do $\Delta AHB=\Delta MHB$(2 cạnh góc vuông) nên $\widehat{ABH}=\widehat{MBH}$(2 góc tương ứng).

Xét $\Delta ABC$và $\Delta MBC$có:

AB = MB (chứng minh trên).

$\widehat{ABC}=\widehat{MBC}$(chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\Delta ABC=\Delta MBC$(c - g - c).

Bài 3 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC.

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Chứng minh rằng $\widehat{A\text{D}B}=\widehat{BAH}$.

Lời giải:

a) Trên tia đối của HC lấy D sao cho HC = HD nên H là trung điểm của CD.

AH $\perp$CD tại trung điểm H của CD nên AH là đường trung trực của CD.

Do đó AC = AD.

b) Tam giác ACD có AC = AD nên tam giác ACD cân tại A.

Do đó $\widehat{A\text{D}B}=\widehat{ACB}$.

Trong tam giác ABC vuông tại A: $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90°$).

Suy ra $\widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}$.

Trong tam giác ABH vuông tại H: $\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90°$).

Suy ra $\widehat{BAH}=90°-\widehat{ABH}$.

Do đó $\widehat{ACB}=\widehat{BAH}$.

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{A\text{D}B}$nên $\widehat{A\text{D}B}=\widehat{BAH}$.

Bài 4 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE $\perp$AN (E $\in$AN).

a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Lời giải:

a) Xét $△$BEA vuông tại E và $△$BEN vuông tại E có:

BA = BN (theo giả thiết).

BE chung.

Suy ra $△$BEA = $△$BEN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Do đó $\widehat{EBA}=\widehat{EBN}$(2 góc tương ứng).

Mà BE nằm trong $\widehat{ABN}$nên BE là tia phân giác của $\widehat{ABN}.$

b) Tam giác BAN có hai đường cao AH và BE cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác BAN.

Do đó NK $\perp$AB.

Mà AC $\perp$AB nên NK // AC.

c) Do BE là tia phân giác của $\widehat{ABN}$nên $\widehat{ABE}=\widehat{NBE}$.

Xét $\Delta ABF$và $\Delta NBF$có:

AB = NB (theo giả thiết).

$\widehat{ABF}=\widehat{NBF}$(chứng minh trên).

BF chung.

Do đó $\Delta ABF=\Delta NBF$(c.g.c).

Suy ra AF = NF (2 cạnh tương ứng) và $\widehat{BAF}=\widehat{BNF}=90°$(2 góc tương ứng).

Do đó FN $\perp$BC.

Xét $\Delta AFG$vuông tại A và $\Delta NFC$vuông tại N có:

AF = NF (chứng minh trên).

$\widehat{AFG}=\widehat{NFC}$(2 góc đối đỉnh).

Do đó $\Delta AFG=\Delta NFC$(góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AG = NC (2 cạnh tương ứng).

Mà BA = BN nên BA + AG = BN + NC hay BG = BC.

Tam giác BGC có BG = BC nên tam giác BGC cân tại B.

Bài 5 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng $\widehat{BMN}=\widehat{HAC}$.

b) Kẻ MI $\perp$AH (I $\in$AH), gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải:

a) Do M nằm trên đường trung trực của BC nên MB = MC.

Xét $\Delta BMN$vuông tại N và $\Delta CMN$vuông tại N có:

MB = MC (chứng minh trên).

MN chung.

Do đó $\Delta BMN=\Delta CMN$(cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BMN}=\widehat{CMN}$(2 góc tương ứng) (1).

Do MN $\perp$BC, AH $\perp$BC nên MN // AH.

Do đó $\widehat{CMN}=\widehat{HAC}$(2 góc đồng vị) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BMN}=\widehat{HAC}$.

b) Do $\Delta BMN=\Delta CMN$(cạnh huyền - cạnh góc vuông) nên $\widehat{MBN}=\widehat{MCN}$(2 góc tương ứng).

Do MI $\perp$AH, BC $\perp$AH nên MI // BC.

Do đó $\widehat{AMI}=\widehat{MCN}$(2 góc đồng vị) và $\widehat{KMI}=\widehat{MBN}$(2 góc so le trong).

Do đó $\widehat{AMI}=\widehat{KMI}$.

Xét $\Delta AMI$vuông tại I và $\Delta KMI$vuông tại I có:

$\widehat{AMI}=\widehat{KMI}$(chứng minh trên).

MI chung.

Do đó $\Delta AMI=\Delta KMI$(góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AI = KI (2 cạnh tương ứng).

Mà I nằm giữa A và K nên I là trung điểm của AK.

Bài 6 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FD = FN.

a) Chứng minh rằng $\Delta MFN=\Delta PF\text{D}$.

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của DP. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Lời giải:

<

a) Tam giác MNP có đường trung tuyến NF nên F là trung điểm của MP.

Do đó FM = FP.

Xét $\Delta MFN$và $\Delta PF\text{D}$có:

MF = PF (chứng minh trên).

$\widehat{MFN}=\widehat{PF\text{D}}$(2 góc đối đỉnh).

FN = FD (theo giả thiết).

Do đó $\Delta MFN=\Delta PF\text{D}$(c.g.c).

b) Tam giác MNP có G là giao điểm hai đường trung tuyến ME và NF nên G là trọng tâm của tam giác MNP.

Do đó NG = $\frac{2}{3}$NF.

Suy ra GF = $\frac{1}{3}$NF.

Do F là trung điểm của GH nên GF = HF.

Suy ra HF = $\frac{1}{3}$NF.

Mà NF = DF nên HF = $\frac{1}{3}$DF.

Suy ra DH = $\frac{2}{3}$DF.

Tam giác MDP có đường trung tuyến DF và DH = $\frac{2}{3}$DF nên H là trọng tâm của tam giác MDP.

Lại có MK là đường trung tuyến của tam giác MDP nên M, H, K thẳng hàng.

Bài 7 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = $\frac{1}{2}$AC, AD là tia phân giác $\widehat{BAC}$(D $\in$BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB.

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH $\perp$KC.

Lời giải:

a) Do E là trung điểm của AC nên AE = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = $\frac{1}{2}$AC nên AE = AB.

Do AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$nên $\widehat{BA\text{D}}=\widehat{E\text{A}D}$.

Xét $\Delta BA\text{D}$và $\Delta E\text{A}D$có:

AB = AE (chứng minh trên).

$\widehat{BA\text{D}}=\widehat{E\text{A}D}$(chứng minh trên).

AD chung.

Do đó $\Delta BA\text{D}=\Delta E\text{A}D$(c.g.c).

Suy ra DB = DE (2 cạnh tương ứng).

b) Do $\Delta BA\text{D}=\Delta E\text{A}D$(c.g.c) nên $\widehat{ADB}=\widehat{ADE}$(2 góc tương ứng).

Mà $\widehat{KDB}=\widehat{C\text{D}E}$(2 góc đối đỉnh) nên $\widehat{A\text{D}B}+\widehat{K\text{D}B}=\widehat{A\text{D}E}+\widehat{C\text{D}E}$hay $\widehat{ADK}=\widehat{A\text{D}C}$.

Xét $\Delta A\text{D}K$và $\Delta A\text{DC}$có:

$\widehat{DAK}=\widehat{DAC}$(chứng minh trên).

AD chung.

$\widehat{ADK}=\widehat{A\text{D}C}$(chứng minh trên).

Do đó $\Delta A\text{D}K=\Delta A\text{DC}$(g.c.g).

Suy ra DK = DC (2 cạnh tương ứng) và AK = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác DCK có DK = DC nên tam giác DCK cân tại D.

Do AK = AC, mà AC = 2AB nên AK = 2AB.

Mà A, B, K thẳng hàng nên B là trung điểm của AK.

c) Do AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$nên $\widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}}$hay $\widehat{KAH}=\widehat{CAH}$(2 góc tương ứng).

Xét $△$KAH và $△$CAH có:

AK = AC (chứng minh trên).

$\widehat{KAH}=\widehat{CAH}$(chứng minh trên).

AH chung.

Suy ra $△$KAH = $△$CAH (c.g.c).

Do đó $\widehat{AHK}=\widehat{AHC}$(2 góc tương ứng).

Mà $\widehat{AHK}+\widehat{AHC}=180°$nên $\widehat{AHK}+\widehat{AHK}=180°$hay $2\widehat{AHK}=180°$.

Suy ra $\widehat{AHK}=\widehat{AHC}=90°$.

Do đó AH $\perp$ KC.

Bài 8 trang 84 Toán 7 Tập 2: Ở Hình 1, cho biết AE = AF và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC.

Lời giải:

Tam giác ABC có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC.

Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC (1).

Mà AE = AF nên AB - AE = AC - AF hay BE = CF.

Xét $\Delta EBC$và $\Delta FCB$có:

BE = CF (chứng minh trên).

$\widehat{EBC}=\widehat{FCB}$(theo giả thiết).

BC chung.

Do đó $\Delta EBC=\Delta FCB$(c.g.c).

Suy ra $\widehat{ECB}=\widehat{FBC}$(2 góc tương ứng) hay $\widehat{HCB}=\widehat{HBC}$.

Tam giác HBC có $\widehat{HCB}=\widehat{HBC}$nên tam giác HBC cân tại H.

Do đó HB = HC.

Suy ra H nằm trên đường trung trực của BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của BC.

Bài 9 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H $\in$CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng $\widehat{EBH}=\widehat{ACM}$.

c) Chứng minh rằng $EB\perp BC$.

Lời giải:

a) Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM nên H là trung điểm của ME.

Ta thấy BH vuông góc với ME tại trung điểm H của ME nên BH là đường trung trực của ME.

Do đó BM = BE.

Tam giác MBE có BM = BE nên tam giác MBE cân tại B.

b) Trong $\Delta BHM$vuông tại H: $\widehat{HBM}+\widehat{BMH}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90°$).

Suy ra $\widehat{HBM}=90°-\widehat{BMH}$.

Trong $\Delta CAM$vuông tại A: $\widehat{ACM}+\widehat{CMA}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90°$).

Suy ra $\widehat{ACM}=90°-\widehat{CMA}$.

Mà $\widehat{BMH}=\widehat{CMA}$(2 góc đối đỉnh) nên $\widehat{HBM}=\widehat{ACM}$(1).

Xét $\Delta BHE$vuông tại H và $\Delta BHM$vuông tại H có:

BH chung.

HE = HM (theo giả thiết).

Do đó $\Delta BHE=\Delta BHM$(2 cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{EBH}=\widehat{MBH}$(2 góc tương ứng) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{EBH}=\widehat{ACM}$.

c) Do CM là tia phân giác của $\widehat{BCA}$nên $\widehat{BCM}=\widehat{ACM}$.

Xét $\Delta BHC$vuông tại H: $\widehat{HBC}+\widehat{BCH}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90°$).

Suy ra $\widehat{HBC}+\widehat{ACM}=90°$.

Mà $\widehat{EBH}=\widehat{ACM}$nên $\widehat{HBC}+\widehat{EBH}=90°$hay $\widehat{EBC}=90°$.

Do đó EB $\perp$>BC.

Bài 10 trang 84 Toán 7 Tập 2: Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Lời giải:

Xét tam giác MIK có MJ $\perp$IK, IN $\perp$MK.

Mà MJ cắt IN tại N nên N là trực tâm của tam giác MIK.

Do đó NK vuông góc với MI.