Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
Trả lời:
a)
Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.
Do nên tam giác AMB vuông tại M, tam giác AMC vuông tại M.
Xét hai tam giác AMB vuông tại M và AMC vuông tại M có:
AM chung.
MB = MC (chứng minh trên).
Do đó (2 cạnh góc vuông).
Khi đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).
Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.
Vậy tam giác ABC cân tại A.
b)
Do AM là tia phân giác của nên
Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA.
Xét hai tam giác AMC và IMB có:
AM = IM (theo giả thiết).
(hai góc đối đỉnh).
MC = MB (theo giả thiết).
Do đó (c – g – c).
Khi đó (2 góc tương ứng) và AC = BI (2 cạnh tương ứng).
Mà nên hay
Tam giác BIA có nên tam giác BIA cân tại B hay BI = BA.
Mà BI = AC nên AB = AC.
Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.
Vậy tam giác ABC cân tại A.
