Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay - Toán lớp 11


Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Với Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

A. Phương pháp giải

* Cho (un) là cấp số nhân; có số hạng đầu là u1 và công bội q. Theo tính chất của cấp số nhân ta có: un2 = un-1.un+1 với n ≥ 2.

* Để chứng minh ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh: ac = b2.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh: (ab+ bc+ ca)3 = abc( a+ b+ c)3

Hướng dẫn giải:

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có ac= b2.

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Ví dụ 2: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh : (a2 + b2).(b2 + c2) = (ab + bc)2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Ví dụ 3: Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q≠0 và a ≠ 0. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Lại có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay (do (*) ( 2)

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay (do (*)) (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4: Cho bốn số a,b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: ac + 2ad + bd = (b+c)2

Hướng dẫn giải:

* Do bốn số a,b,c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Ví dụ 5: Cho bốn số dương a ,b,c và d thỏa mãn √a; √b; √c và √d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số √a; √b; √c và √d theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Do đó; ta có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) suy ra: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Ví dụ 6: Cho bốn số dương a, b, c và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số a,b, c, và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q. Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Khi đó; Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) suy ra: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Ví dụ 7: Cho bốn số dương phân biệt a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

* Do bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q nên

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

* Ta có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

( chú ý bốn số đã cho là phân biệt nên q ≠ 1)

* Lại có : Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) ta có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Hay lắm đó

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân .Chứng minh : (a + b +c). (a - b + c) = a2 + b2 + c2

Lời giải:

*Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: b2 = ac

* Xét:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Câu 2: Cho a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: (b-c)2 + (c-a)2 + ( d- b)2 + ( a- d)2 = (a-d)2

Lời giải:

Vì a,b,c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

a.d= bc; ac = b2 và bd= c2

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Câu 3: Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

* Do a,b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

* Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Câu 4: Cho ba số dương a,b,c lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay cũng lập thành cấp số nhân.

Lời giải:

* Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: ac= b2 *Ta phải chứng minh:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Câu 5: Cho (un) là cấp số nhân và các số nguyên dương m; k ( m < k). Chứng minh: uk-m . uk+m = uk2

Lời giải:

Ta có :

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Câu 6: Cho 3 số a,b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh: (a2+ b2). (b2 + c2)= ( ab+ bc)2

Lời giải:

Do 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có: b= aq và c= aq2

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

• Từ (1) và (2) ta suy ra Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay.( đpcm)

Câu 7: Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay. Chứng minh tan a; tanb và tan c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Lời giải:

* Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c= 2b.

Lại có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Suy ra Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

* Ta có

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Vậy tan a. tan c= tan2

=> tana; tanb; tanc theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: