Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải - Toán lớp 11
Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải
Với Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập chứng minh một dãy số là cấp số cộng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
* Để chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng, ta xét A = un+1 − un
Nếu A là hằng số thì (un) là một cấp số cộng với công sai d = A.
Nếu A phụ thuộc vào n thì (un) không là cấp số cộng.
* Ngoài ra; để chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: uk+1 − uk ≠ uk − uk−1
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (un) với un = 17n + 2 là cấp số cộng
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19
=> Hiệu: un+1 – un = (17n + 19) − (17n + 2) = 17
Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d = 17.
Ví dụ 2: Chứng minh dãy số (un) với un = 10 − 5n là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 10 − 5(n+1)= 5 − 5n.
Xét hiệu: un+1 − un = (5 − 5n) − (10 − 5n) = −5
=> (un) là một cấp số cộng với công sai d = −5.
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) với un = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số (un) không phải là cấp số cộng .
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 2n+1 + 3
Xét hiệu: un+1 − un = (2n+1 + 3) − (2n + 1)= 2n+1 − 2n
=> (un+1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) với 
. Chứng minh rằng (un) không là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Xét hiệu: 
=> (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) với un = n2 + 2n + 2. Chứng minh (un) không là cấp số cộng
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = (n+1)2 + 2(n+1) + 2 = n2 + 4n + 5
Xét hiệu: un+1 − un = (n2 + 4n + 5) − (n2 + 2n + 2) = 2n + 3
=> Hiệu (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên (un) không là cấp số cộng.
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) với un = 10. Chứng minh (un) là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 10
Xét hiệu: un+1 − un = 10 − 10 = 0
=> (un) là cấp số cộng với công sai d= 0
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un)không là cấp số cộng ?
Hướng dẫn giải:
Ta có 
=> u3 − u2 ≠ u2 − u1 nên dãy số (un) không phải là cấp số cộng.
Ví dụ 7: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng
Hướng dẫn giải:
Ta có 
=> dãy số trên không phải cấp số cộng.
Ví dụ 8: Cho dãy số (un) xác định bởi 
. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Ta thấy: u1 + u3 ≠ 2u2
T => dãy số (un) đã cho không là cấp số cộng.
Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1= √(2 + un). Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
* Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2; u5 = 2...
Dự đoán: un = 2 ∀n ∈ N*.
* Ta chứng minh un = 2 bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với n = k, tức là: uk = 2.
Ta chứng minh đúng với n= k + 1 hay uk+1 = 2.
Theo giả thiết ta có: uk+1 = √(2 + uk) = √(2+2) = 2
=> Đúng với n = k + 1, ta có đpcm.
Vậy với mọi n ta có: un = un+1 nên un+1 − un = 0.
=> Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 0.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Chứng minh dãy số (un) với un = −13n + 27 là cấp số cộng
Lời giải:
Ta có: un+1 = −13(n + 1) + 27 = −13n + 14
=> Hiệu: un+1 − un = (−13n + 14) − (−13n + 27) = −13
Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d= −13.
Câu 2: Chứng minh dãy số (un) với un = −3 − 8n là cấp số cộng.
Lời giải:
Ta có: un+1 = −3 − 8(n+1) = −11 − 8n
Xét hiệu: un+1 − un = (−11 − 8n) − (−3 − 8n) = −8
=> (un) là một cấp số cộng với công sai d = −8.
Câu 3: Cho dãy số (un) với un = 3. (−4)n − 8. Chứng minh rằng dãy số (un) không phải là cấp số cộng .
Lời giải:
Ta có: un+1 = 3.(−4)n+1 − 8
Xét hiệu: un+1 − un = [3.(−4)n+1 − 8] − [ 3.(−4)n − 8] = 3.(−4)n+1 − 3.(−4)n
=> (un+1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
Câu 4: Cho dãy số (un) với 
. Chứng minh rằng (un) không là cấp số cộng.
Lời giải:
Ta có: 
Xét hiệu: 
=> (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
Câu 5: Cho dãy số (un) với un = −2n2 + n + 1. Chứng minh (un) không là cấp số cộng
Lời giải:
Ta có: un+1 = −2(n+1)2 + (n+1) + 1= −2n2 − 3n
Xét hiệu: un + 1 − un = (−2n2 − 3n) − (−2n2 + n + 1) = −4n − 1
=> Hiệu (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên (un) không là cấp số cộng.
Câu 6: Cho dãy số (un) với un = −2n2 + n + 1. Chứng minh (un) không là cấp số cộng
Lời giải:
Ta có: un+1 = −1010
Xét hiệu: un+1 − un = −1010 − (−1010) = 0
=> (un) là cấp số cộng với công sai d = 0
Câu 7: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un)không là cấp số cộng ?
Lời giải:
Ta có 
=> u3 − u2 ≠ u2 − u1 nên dãy số (un) không phải là cấp số cộng.
Câu 8: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng.
Lời giải:
Ta có 
=> dãy số trên không phải cấp số cộng.
Câu 9: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng.
Lời giải:
Ta có: 
Ta thấy: u1 + u3 ≠ 2u2
=> dãy số (un) đã cho không là cấp số cộng.
Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = √(3un − 2). Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng.
Lời giải:
* Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2; u5 = 2...
Dự đoán: un = 2 ∀n ∈ N*.
* Ta chứng minh un = 2 bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với n = k, tức là: uk = 2.
Ta chứng minh đúng với n = k + 1 hay uk+1 = 2.
Theo giả thiết ta có: uk+1 = √(3uk − 2) = √(3 . 2 − 2) = 2
=> Đúng với n = k+ 1, ta có đpcm.
Vậy với mọi n ta có: un = un+1 nên un+1 − un = 0.
=> Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d= 0.
