Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay - Toán lớp 11


Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Với Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

A. Phương pháp giải

* Tính chất của cấp số cộng: Cho (un) là cấp số cộng thì ta có

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

* Nếu ba số a; b; c lập thành cấp số cộng thì c − b = b − a.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Chọn B

Ví dụ 2: Cho 3 số a; b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

Ta có 3 số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho 3 số a; b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

Ta có a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Chọn B

Ví dụ 4: Cho ba số a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng .Đẳng thức nào sau đây sai?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên: a + c= 2b ⇔ a = 2 b - c

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Vậy a2 − 2ab = c2 − 2bc ; a2 − 2ab = −ac và −ac = c2 − 2bc

Chọn D.

Hay lắm đó

Ví dụ 5: Cho a,b và c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm đẳng thức đúng?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

+ Ta có a,b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên : a + c = 2b ⇔ a = 2b – c

+ Khi đó;

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho ba số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Ba số nào sau đây cũng lập thành cấp số cộng.

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh ba số: a2 + ab + b2; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Thật vậy;

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

=> ba số: a2 + ab + b2; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có cot Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm hệ thức đúng về mối liên hệ giữa ba cạnh a,b và c?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

Do Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Áp dụng định lí sin trong tam giác suy ra:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay thay vào (*) ta được:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

=> Ba cạnh của tam giác ABC tạo thành cấp số cộng.

Chọn D.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho a,b và c là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Hỏi ba số nào sau đây cũng là cấp số cộng.

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

Khi a, b và c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng ta chứng minh ba số:

a2 − bc; b2 − ac; c2 − ab cũng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.

+ Vì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên : a + c = 2b.

Ta chứng minh:

a2 – bc + c2 – ab = 2(b2 – ac)

⇔ a2 + c2 – b(a+ c)= 2b2 – 2ac

⇔ a2 + c2 – b.2b= 2b2 – 2ac ( vì a+c= 2b)

⇔ a2 +c2 + 2ac= 2b2 + 2b2

⇔( a+ c)2 =4b2 2 ⇔ 4b2 = 4b2 ( đúng) => điều phải chứng minh .

Câu 2: Cho ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

Do a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: 2b = a+ c.

=> 3b = a+ b+ c

Ta chứng minh phương án B đúng.

+ Ta có:

9[a2 (b+c)+ b2 ( a+ c)+ c2 (a+ b)]

= 9[ a2(3b –a) + 2b3 + ( 2b –a)2 ( a+b) ]

= 9[ 3a2b - a3 + 2b3 + ( 4b2 – 4ab + a2 ). (a+ b)]

= 9( 3a2b – a3 +2b3+4ab2+4b3 – 4a2b – 4ab2 + a3+ a2b)= 54b3 (1) .

+ Lại có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Từ (1) và (2) suy ra: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Câu 3: Cho bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi đẳng thức nào sau đây là đúng?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: A

*Do bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai nên ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Hay lắm đó

Câu 4: Cho ba số x + 1; y + 3 và z - 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm mệnh đề đúng?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Do x + 1; y + 3 và z - 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d nên:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Câu 5: Cho ba số x- 1; y+ 1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm mệnh đề đúng?

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Do x-1; y+1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Câu 6: Cho các số a2, b2 và c2 lập thành một cấp số cộng có công sai d khác không. Ba số nào sau đây cũng lập thành cấp số cộng.

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: D

Do ba số a2, b2 và c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

a2 + c2 = 2b2

Ta sẽ chứng minh ba số Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay cũng lập thành cấp số cộng; tức là ta đi chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

+ Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Vậy ba số Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay cũng lập thành cấp số cộng.

Câu 7: Cho ba số a, b và c dương theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Ba số nào sau đây cũng lập thành cấp số cộng.

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

* Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên ta có a + c= 2b.

Ta chứng minh ba số Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay cũng theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Tức là ta đi chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

* Ta có: a + c = 2b ⇔ a – b = b – c

⇔ (√a- √b).(√a+ √b)=(√b- √c).(√b+ √c)

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.

Câu 8: Cho tam giác ABC có tan Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Hỏi 3 số nào sau đây cũng lập thành cấp số cộng.

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng nên

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

=> cosA; cosB; cosC theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: