Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải - Toán lớp 11


Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Với Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập xét tính bị chặn của dãy số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

1) Nếu số hạng tổng quát cho dưới dạng Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải thì:

Thu gọn un, dựa vào biểu thức thu gọn để chặn un.

Ta cũng có thể chặn tổng Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.

2) Nếu dãy số (un) cho bởi một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp.

Ta cũng có thể xét tính đơn điệu (nếu có) sau đó giải bất phương trình un+1 − un dựa vào đó chặn (un).

3) Nếu số hạng tổng quát cho bởi công thức thì ta dựa vào phương pháp đánh giá (chú ý n ∈ N*)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) có Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

* Với n∈ N* ta có : Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Nên dãy số bị chặn dưới bởi 0

+ Lại có; Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải với n ∈ N*

Nên dãy (un) bị chặn trên bởi 2.

=> dãy số (un)bị chặn.

Chọn A.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) biết un = (−1)n

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

Ta có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> − 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n nên (un) là dãy số bị chặn.

Chọn A.

Ví dụ 3: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) biết un = 4n − 2

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

Ta có n ≥ 1 nên 4n − 2 ≥ 2

=> dãy số (un) bị chặn dưới bởi 2 và dãy (un) không bị chặn trên.

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải. Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số (un) bị chặn trên.

B.Dãy số (un) bị chặn dưới.

C. Dãy số tăng.

D. Dãy số không bị chặn.

Hướng dẫn giải:

+ Xét hiệu:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vậy (un) là dãy số tăng.

+ Ta có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

suy ra ∀n ∈ N*; un < 2 nên (un) bị chặn trên. (1)

Vì (un) là dãy số tăng nên Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> (un) bị chặn dưới. (2)

Từ (1) và (2) suy ra (un) bị chặn.

=> D sai.

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi un = 1 + (n − 1) . 2n. Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Công thức truy hồi của dãy số là: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

C. 5 số hạng đầu tiên của dãy số là 1,5,17, 49, 129.

D. Dãy số bị chặn trên.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> C đúng

+ Xét hiệu: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vậy công thức truy hồi: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

+ Ta có: un+1 − un = (n+1). 2n > 0

Suy ra dãy số (un) là dãy số tăng.

Ta có: un = 1 + (n − 1).2n ≥ 1 với ∀n ≥ 1

=> (un) là dãy số bị chặn dưới.

=> D sai.

Chọn D.

Hay lắm đó

Ví dụ 6: Cho dãy số (un) xác định bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Chọn mệnh đề đúng.

A. Dãy số (un) bị chặn trên ; không bị chặn dưới.

B. Dãy số (un) bị chặn dưới ; không bị chặn trên.

C.Dãy số (un) không bị chặn.

D. Dãy số (un) bị chặn.

Hướng dẫn giải:

Công thức un được viết lại: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Với mọi n ∈ N* ta có : 2n2 + 4 > 0

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> (un) bị chặn trên bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

+ Lại có : với mọi n ∈ N* thì : n2 + 1 > 0 và 2n2 + 4 > 0

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=>(un) bị chặn dưới bởi 0.

Vậy dãy số (un) là bị chặn

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số bị chặn trên.

C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

D.Dãy số bị chặn.

Hướng dẫn giải:

* Ta viết lại: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Xét hiệu số:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

* Ta có:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Suy ra (un) là một dãy số bị chặn.

Kết luận (un) là một dãy số tăng và bị chặn.

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho dãy số (un) được xác định bởi un = n2 − 4n + 3. Tìm mệnh đề sai.

A. Công thức truy hồi của dãy số là : Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

B. Dãy số bị chặn dưới.

C. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số là Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

D. Dãy số bị chặn trên.

Hướng dẫn giải:

* Ta có: u1 = 12 − 4.1 + 3 = 0

Xét hiệu: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vậy công thức truy hồi: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

* Ta có: un = n2 − 4n + 4 − 1 = (n − 2)2 − 1 ≥ 1 với ∀n ≥ 1

Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên.

*Ta có:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Chọn D.

Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Tìm mệnh đề đúng nhất ?

A. Dãy số bị chặn trên ; không bị chặn dưới.

B. Dãy số bị chặn dưới ; không bị chặn trên.

C. Dãy số không bị chặn.

D. Dãy số bị chặn.

Hướng dẫn giải:

+ Rõ ràng un > 0 với mọi n nên (un) bị chặn dưới bởi 0.

+ Lại có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Suy ra: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> (un) bị chặn trên.

Kết luận (un) bị chặn.

Chọn D.

Ví dụ 10: Cho dãy số (un) xác định bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Chọn mệnh đề đúng ?

A. Dãy số bị chặn.

B. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

D. Dãy số không bị chặn .

Hướng dẫn giải:

* Rõ ràng un > 0 với ∀n ∈ N* nên (un) bị chặn dưới bởi 0.

* Có Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Do đó:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải với mọi n.

=> (un) bị chặn trên bởi 2.

Kết luận (un) bị chặn.

Chọn A.

Ví dụ 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Dãy số tăng, bị chặn trên    B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:

* Với mọi n ∈ N* ; ta có un > 0. Xét tỉ số

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> un+1 < un nên dãy (un) là dãy số giảm.

* Vì dãy số (un) là dãy số giảm nên un ≤ u1 = 2 ∀n

Suy ra: 0 < un ≤ 2 ∀n ∈ N*

=> dãy (un) là dãy bị chặn.

Chọn D .

Ví dụ 12: Cho dãy số Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Xét dãy số yn = xn+1 − xn. Khẳng định nào đúng về dãy (yn)

A. Tăng,bị chặn    B. Giảm,bị chặn

C. Tăng,chặn dưới    D. Giảm,chặn trên

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Do đó: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Ta chứng minh dãy (yn) tăng.

Ta có:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Ta chứng minh dãy (yn) bị chặn.

Trước hết ta chứng minh: xn ≤ 4(n−1) (1) với n ≥ 2

* Với n = 2, ta có: x2 = 4x1 = 4 nên (1) đúng với n = 2.

* Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: xk ≤ 4(k−1). Ta chứng minh đúng với n = k + 1

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Nên (1) đúng với n= k+1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng

Ta có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vậy bài toán được chứng minh.

Hay lắm đó

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Xét tính bị chặn của dãy số (un): un = 4 − 3n − n2

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> dãy số (un) bị chặn trên; dãy (un) không bị chặn dưới.

Câu 2: Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

+ Với mọi n ∈ N* ta có 2n > 0 và n2 − n + 1 > 0

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải nên un > 1 (1)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được: n2 + 1 ≥ 2n

=> n2 − n + 1 ≥ n nên Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> un ≤ 3 (2).

Từ (1) và (2) suy ra dãy số (un) là bị chặn.

Câu 3: Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Lời giải:

Đáp án: A

* Với mọi n nguyên dương ta có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

* Lại có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải với mọi n ∈ N*

Vậy 0 < un ≤ 2 nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

Câu 4: Cho dãy số (un) xác đinh bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị chặn trên.     B. Dãy số bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn.     D. Dãy số không bị chặn.

Lời giải:

Đáp án: C

* Với mọi n ∈ N* ta có: un > 0

=> (un) bị chặn dưới bởi 0.

Lại có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Suy ra Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> (un) bị chặn trên bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Kết luận (un) bị chặn.

Câu 5: Cho dãy số (un) xác đinh bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Tìm mệnh đề sai?

A. Dãy số bị chặn

B. Dãy số bị chặn trên; không bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn dưới; không bị chặn trên.

D. Dãy số không bị chặn.

Lời giải:

Đáp án: A

+ Với mọi n ∈ N* ta có un > 0 nên dãy số bị chặn dưới bởi 0.

+ Lại có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Suy ra:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Nên (un) bị chặn trên.

Kết luận (un) bị chặn.

Câu 5: Cho dãy số (un) xác đinh bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Tìm mệnh đề sai?

A. Với mọi n ∈ N*; un < 15

B. Dãy số (un) là dãy số tăng.

C. Dãy số (un) bị chặn dưới.

D. Dãy số (un) bị chặn.

Lời giải:

Đáp án: D

* Ta dùng quy nạp chứng minh: với mọi n ∈ N*; un < 15

Ta có u1 = 1 < 15 nên đúng với n= 1.

Giả sử đúng với n = k; k ∈ N* tức là có: uk < 15.

khi đó Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vậy un < 15 với ∀n ∈ N*. (1)

* Ta có Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải (do (1))

=> dãy số (un) tăng

=> un ≥ u1 = 1 nên (un) bị chặn dưới bởi 1.

Câu 6: Cho dãy số (un) xác đinh bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

B. Dãy số bị chặm dưới nhưng không bị chặn trên.

C. Dãy số bị chặn.

D. Dãy số không bị chặn.

Lời giải:

Đáp án: C

*Với k = 2,3...n ta có

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Do đó:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vế cộng vế suy ra:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=>(un) bị chặn trên bởi 2.

* Mặt khác; với ∀n ∈ N* ta có: un > 0

=> (un) bị chặn dưới bởi 0.

=> (un) bị chặn.

Hay lắm đó

Câu 7: Cho dãy số (un) xác đinh bởi Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau .

A. Dãy số (un) bị chặn.

B.Dãy số (un) không bị chặn .

C. Dãy số (un) bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

D. Dãy số (un) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Lời giải:

Đáp án: A

*Với mọi n∈ N* ta có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải nên (un) bị chặn dưới bởi 0.

* Lại có:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Mà:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Suy ra: un < 3 với mọi n nên dãy số (un) bị chặn trên bởi 3.

Kết luận: dãy số (un) bị chặn.

Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: A

* Ta có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải với mọi n ≥ 1.

Suy ra un+1 > un ∀n ≥ 1 ⇔ dãy (un) là dãy tăng.

* Mặt khác: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Với n ≥ 1; thì

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Lại có với n ≥ 1 thì

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Suy ra: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Dãy số tăng, bị chặn trên    B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: B

* Ta có:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> un+1 > un ∀n > 1 => dãy (un) là dãy số tăng.

* Lại có:

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải dãy (un) bị chặn dưới.

Câu 10: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Dãy số tăng, bị chặn trên    B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: C

+ Với mọi n ∈ N* ta có : un > 0 . Xét tỉ số :

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> un+1 < un với mọi n.

=> Dãy số (un) là dãy số giảm.

+ Mặt khác : √(1 + n + n2) > 1 với ∀n ∈ N*

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vậy 0 < un < 1 nên dãy (un) là dãy bị chặn.

Câu 11: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Tăng, bị chặn    B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới    D. Giảm, chặn trên

Lời giải:

Đáp án: B

*Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1 < un ≤ 2

Điều này đúng với n = 1.

Giả sử đúng với n = k + 1 tức là: 1 < uk ≤ 2. Ta chứng minh đúng với n = k+ 1.

Thật vậy ta có: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải nên ta có đpcm.

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Vậy dãy (un) là dãy giảm và bị chặn.

Câu 12: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Tăng, bị chặn     B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới     D. Giảm, chặn trên

Lời giải:

Đáp án: A

*Trước hết ta chứng minh 1 < un < 4

Điều này hiển nhiên đúng với n = 1.

Giả sử đúng với n = k tức là: 1 < uk < 4. Ta chứng minh đúng với n = k + 1

Thật vậy: 1 < uk+1 = uk + √(uk-1) < √4 + √4 = 4

Vậy dãy (un) là bị chặn.

*Ta chứng minh (un) là dãy tăng

Ta có: u1 < u2, giả sử un+1 < un, ∀n ≥ k.

Khi đó: Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

=> dãy (un) là dãy tăng.

Vậy dãy (un) là dãy tăng và bị chặn.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: