Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11


Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay

Với Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d // (P); để tính khoảng cách giữa d và (P) ta thực hiện các bước:

   + Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) có thể được xác định dễ nhất.

   + Bước 2: Kết luận: d(d; (P)) = d(A; (P)).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD)

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn C

Ta có: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a√2. Tính khỏang cách giữa đường thẳng CD và (SAB).

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

Vì DC // AB nên DC // (SAB)

⇒ d(DC; (SAB)) = d(D; (SAB))

Kẻ DH ⊥ SA

Do AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD)

⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA

⇒ DH ⊥ (SAB)

Nên d(CD; (SAB)) = DH.

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 3: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên

MN // AB

⇒ MN // (ABC)

Khi đó, ta có:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

(vì M là trung điểm của OA).

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a . Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó; IM // AD //BC

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông nên SO ⊥ (ABCD) .

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2a

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn đáp án D

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và (SOE) là

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .

mà (SAB) ∩ (SAD) = SA

⇒ SA ⊥ (ABCD) .

+ Do E là trung điểm của AD khi đó

Tam giác ABD có EO là đường trung bình

⇒ EO // AB ⇒ AB // (SOE)

⇒ d(AB, (SOE)) = d(A; (SOE)) = AH

với H là hình chiếu của A lên SE.

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa AA’ và (BB’D’) bằng:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

Ta có: AA’ // BB’ mà BB’ ⊂ ( BDD’B’)

⇒ AA’ // (BDD’B’)

⇒ d( AA’; (BD’B’)) = d(A; (BDD’B’)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ AO ⊥ (BDD’B’) (tính chất hình lập phương)

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hay lắm đó

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa (SDA) và BC?

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Ta có: BC // AD nên BC // (SAD)

⇒ d(BC; (SAD)) = d(B; SAD))

+ Ta chứng minh BA ⊥ (SAD) :

Do BA ⊥ AD (vì ABCD là hình chữ nhật)

Và BA ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))

⇒ BA ⊥ (SAD)

⇒ d(B; (SAD)) = BA

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có:

AB2 = AC2 - BC2 = 5a2 - 2a2 = 3a2

⇒ AB = √3 a

⇒ d(CB; (SAD)) = AB = √3 a

Đáp án D

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a; BC = a . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và (SBK) là:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là trung điểm cạnh BC

+ Do SA = SB = SC = SD và OA = OB = OC = OD nên SO ⊥ (ABCD)

+ Ta chứng minh BC ⊥ (SOI)

- Tam giác SBC cân tại S có SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ SI    (1).

- Lại có: BC ⊥ SO (vì SO ⊥ (ABCD))    (2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra: BC ⊥ (SOI)

Mà OH ⊂ (SOI) nên BC ⊥ OH

⇒ OH ⊥ (SBC)

Do EF // BK nên EF // (SBK)

⇒ d(EF; (SBK)) = d(O; (SBK)) = OH

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn đáp án D.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và (SMN) bằng bao nhiêu?

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC

⇒ BC // (SMN) nên :

d(BC; (SMN)) = d(B; (SMN)) = d(A; (SMN))

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.

+ Ta chứng minh: MN ⊥ (SAM):

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn đáp án A

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và (SBC) là:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Do AD // BC nên AD // (SBC)

⇒ d (AD, (SBC)) = d(H; (SBC))

trong đó H là trung điểm AD.

+ Gọi M là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM

⇒ d(H; (SBC)) = HK.

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Diện tích tam giác SMH là:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√17/2 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường HK và (SBD) theo a

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Ta có: H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD

⇒ HK // BD ⇒ HK // (SBD)

⇒ d(HK; (SBD)) = d(H, (SBD))

Kẻ HI ⊥ BD và HJ ⊥ SI

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠ABC = 60° Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và (SAB) theo a bằng:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Kẻ: OI ⊥ AB; OH ⊥ SI

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Do CD // AB nên CD // (SAB)

⇒ d(CD, (SAB)) = d(C; (SAB)) = 2d( O; (SAB))

Ta có: AB ⊥ SO , AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ (SOI) ⇒ AB ⊥ OH

Nên OH ⊥ (SAB) ⇒ d(O, (SAB)) = OH

Mà tam giác ACB cân tại B có ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều

⇒ OC = (1/2)AC = (1/2)AB = a/2 .

+ xét tam giác OAB có:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn đáp án B

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SO = 2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và (SCD) bằng

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Gọi I là trung điểm của CD . Ta có:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

⇒ ((SCD), (ABCD)) = (OI, SI) = 60°

+ Ta có: AB // CD nên AB // (SCD)

⇒ d(AB, (SCD)) = d(A, ( SCD)) = 2.d(O, (SCD))

+ Trong mp (SOI) , gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SI

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Tam giác SOI vuông tại O, có đường cao OH nên

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Do đó: d(AB; (SCD)) = 2d(O; (SCD)) = 2.OH = 2.1 = 2

Chọn B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: