Bài tập trắc nghiệm lý thuyết hai đường thẳng vuông góc cực hay - Toán lớp 11

---

Bài tập trắc nghiệm lý thuyết hai đường thẳng vuông góc cực hay

Với Bài tập trắc nghiệm lý thuyết hai đường thẳng vuông góc cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập hai đường thẳng vuông góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, cho u→ và v→ là hai vectơ khác 0→. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB→ = u→, AC→ = v→. Khi đó ta gọi góc là góc giữa hai vectơ u→ và v→ trong không gian, kí hiệu là (u→, v→)

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của hai vectơ u→ và u→ là một số, kí hiệu là u→.v→, được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→.v→ = 0.

II – Vecto chỉ phương của đường thẳng

1. Định nghĩa

Vectơ a→ khác 0→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2. Nhận xét

a) Nếu a→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ k.a→ với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d.

b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a→ của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.

III – Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

1. Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

b) Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°.

c) Nếu u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (u→, v→) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu 0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° - α nếu 90° < α ≤ 180°. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.

IV – Hai đường thẳng vuông góc

1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b .

2. Nhận xét

a) Gọi u→ và v→ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a ⊥ b ⇔ u→.v→ = 0

b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a;b;c . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a//b.

B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b.

C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b.

D. Nếu a và b cùng nằm trong mp(α) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta xét các phương án:

+ Phương án A: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau

⇒ A sai.

+ Phương án C sai do:

Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b. Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song.

+ Phương án D sai do: giả sử a vuông góc với c; bsong song với c, khi đó góc giữa a và c bằng 90°, còn góc giữa b và c bằng 0°.

Do đó B đúng.

Ví dụ 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).

B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c.

C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta xét các phương án:

+ Phương án B sai: Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:

(AD; AB) = (AD; AA’) = 90° nhưng AB và AA’ lại vuông góc với nhau

+ Phương án C sai : Vì góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°. Mà 90° lại không là góc nhọn .

+ Phương án D: Góc giữa hai đường thẳng chỉ bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó khi góc giữa hai vecto chỉ phương không vượt quá 90°.

⇒ Phương án A đúng.

Ví dụ 3: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.

B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Theo lý thuyết

Ví dụ 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng

B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy.

C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng.

D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi a; b; c là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một

Giả sử a; b cắt nhau tại A, vì c không nằm cùng mặt phẳng với a; b mà c cắt a; b nên c phải đi qua A

Thật vậy giả sử c không đi qua A thì nó phải cắt a; b tại hai điểm B; C

⇒ Đường thẳng c cắt (a; b) tại 2 điểm B; C điều này là vô lí, một đường thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c.

C. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b. Nếu đường thẳng c vuông góc với a và b thì a; b; c không đồng phẳng.

D. Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu a vuông góc với c thì b cũng vuông góc với c.

Hướng dẫn giải

Ta xét các phương án:

+ Phương án A sai: vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc vuông góc với nhau.

+ Phương án B sai vì nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có thể song song với c(khi 3 đường thẳng a; b; c đồng phẳng).

+ Phương án C sai vì với 2 đường thẳng a // b và 3 đường thẳng a; b; c đồng phẳng. Nếu đường thẳng c vuông góc với a thì c cũng vuông góc với b.

+ Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.

B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Lời giải:

Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→

A. 45°                  B.90°                  C. 120°                  D. 60°

Lời giải:

Chọn B

Câu 3: Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Biết a vuông góc với đường thẳng c. Tìm mệnh đề đúng ?

A. b vuông góc với c

B. b // c

C. Cả A và B đúng

D. Tất cả sai.

Lời giải:

+ Phương án A sai: Ví dụ khi a; b và c cùng nằm trong một mặt phẳng. Khi đó; b // c

(vì cùng vuông góc với đường thẳng a).

+ Phương án B sai. Ví dụ hình chóp S.ABC có SA; SB và SC đôi một vuông góc. Rõ ràng SA vuông góc SB và SC nhưng SB và SC không song song với nhau.

Chọn D

Câu 4: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì:

A. Song song với nhau

B. Vuông góc với nhau.

C. Chéo nhau

D. Tất cả sai.

Lời giải:

+ Phương án A sai: ví dụ hình chóp S.ABC có SA, SB và SC đôi một vuông góc. Có SA và SB cùng vuông góc với SC nhưng SA và SB không song song với nhau.

Đồng thời ta thấy SA và SB cắt nhau tại S.

⇒ A và C sai

+ Phương án B sai: Ví dụ các đường thẳng a; b và c đồng phẳng. Có a và c cùng vuông góc với b. Khi đó; a // c

⇒ B sai

Chọn D

Câu 5: Chọn mệnh đề sai?

A. Nếu a // b và b // c thì a //c.

B. Nếu a vuông góc với b ; b vuông góc với c thì a // c.

C. Cho a // b. Nếu a vuông góc với c thì b vuông góc với c.

D. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích vô hướng của hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng đó bằng 0.

Lời giải:

+ Nếu a vuông góc với b ; b vuông góc với c thì chưa chắc a song song với c. Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Có AB vuông góc AD ; AB vuông góc với AA’ nhưng AD vuông góc với AA’.

+ Chú ý: Trong không gian quan hệ song song vẫn được bảo toàn:

Nếu a // b, b // c thì a // c.

Chọn B