Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay - Toán lớp 11
Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay
Với Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập ảnh của một đường tròn qua phép vị tự từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
Cách 1. Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm M(x;y) thuộc hình (C), V(O,k)(M) = M'(x';y') thì M'thuộc ảnh (C') của hình (C).
Cách 2. áp dụng tính chất phép vị tự biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k = 3
Hướng dẫn giải:
Đường tròn (C) có tâm J(1;1), bán kính R = 2.
⇒ J'(7;-2).
Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự V(I;3) thì(C') có tâm J'(7;-2), bán kính R' = 3R = 6.
Vậy (C'): (x - 7)2 + (y + 2)2 = 36.
Ví dụ 2: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k = -1/2
b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0, k = 4
Hướng dẫn giải:
a)
b)
Gọi V(O,4)(C) = (C'). Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) và bán kính R = 4
Khi đó: V(O,4)(I) = I'(12; -8) và bán kính R’ = |4|R = 16.
Vậy: (C’): (x – 12)2 + (y + 8)2 = 256
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4 và (C'): (x - 8)2 + (y - 4)2 =16. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Đường tròn (C) có tâm I(1;2),bán kính R = 2; đường tròn (C') có tâm I'(8;4), bán kính R' = 4. Do I ≠ I' và R ≠ R' nên có hai phép vị tự V(J;2) và V(J';-2) biến (C) thành (C'). Gọi J(x;y)
Với k = 2 khi đó 
⇒ J(-4;-2).
Tương tự với k = -2, tính được J'(4;2).
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Trong mặt phẳngOxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
A. (x - 2)2 + (y - 4)2 = 16.
B. (x - 4)2 + (y - 2)2 = 4.
C. (x - 4)2 + (y - 2)2 = 16.
D. (x + 2)2 + (y + 4)2 = 16.
Lời giải:
Chọn D
Đường tròn (C) có tâm I(1;2) và bán kính r = 2.
Đường tròn cần tìm có tâm I' = V(O,k)(I) và bán kính r' = |k|.r.
Khi đó:
I'(-2;-4) và r' = 4.
Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
A. (x - 1)2 + (y - 1)2 = 8.
B. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 8.
C. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 16.
D. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 16.
Lời giải:
Chọn C
Đường tròn (C) có tâm I(1;1) và bán kính r = 2.
Đường tròn cần tìm có tâm I' = V(O,k)(I) và bán kính r' = |k|.r.
Khi đó: I'(2;2) và r' = 4.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 5)2 = 4 và điểm I(2;-3). Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k = -2. Khi đó (C') có phương trình là:
A. (x - 4)2 + (y + 19)2 = 16.
B. (x - 6)2 + (y + 9)2 = 16.
C. (x + 4)2 + (y - 19)2 = 16.
D. (x + 6)2 + (y + 9)2 = 16.
Lời giải:
Chọn A
Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x-6)2 + (y - 4)2 = 12. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1/2 và phép quay tâm O góc 90°.
A. (x + 2)2 + (y - 3)2 = 3.
B. (x - 2)2 + (y + 3)2 = 3.
C. (x + 2)2 + (y - 3)2 = 6.
D. (x - 2)2 + (y + 3)2 = 6.
Lời giải:
Chọn A
Đường tròn (C) có tâm I(6;4) và bán kính 
Qua phép vị tự tâm O tỉ số 1/2 điểm I(6;4) biến thành điểm I1(3;2);
Qua phép quay tâm O góc 90° điểm I1(3;2) biến thành điểm I'(-2;3).
Vậy ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng trên là đường tròn có tâm I'(-2;3) và bán kính 
có phương trình: (x + 2)2 + (y - 3)2 = 3.
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 1)2 = 9. Gọi (C')là ảnh của đường tròn (C) qua việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số 
và phép tịnh tiến theo vectơ 
= (1; -3). Tính bán kính R' của đường tròn (C').
A. R' = 9.
B. R' = 3.
C. R' = 27.
D. R' = 1.
Lời giải:
Đường tròn (C) có bán kính R = 3.
Qua phép vị tự tâm O, tỉ số , đường tròn (C) biến thành đường tròn (C1) có bán kính là 
Qua phép tính tiến theo vectơ = (1; -3), đường tròn (C1) biến thành đường tròn (C') có bán kính R' = R1 = 1.
Vậy R' của đường tròn (C') là R' = 1.
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn lần lượt có phương trình là: (C): x2 + y2 - 2x + 6y - 6 = 0 và (C'): x2 + y2 -x + y- 
= 0. Gọi (C) là ảnh của (C') qua phép vị tự tỉ số k. Khi đó, giá trị của k là:
Lời giải:
Chọn B
Đường tròn (C) có bán kính là R = 4.
Đường tròn (C') có bán kính là R' = 2.
Do (C) là ảnh của (C') qua phép vị tự tỉ số k ⇒ R = |k|R' ⇔ 4 = 2|k| ⇔ k = ±2.
Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.
A. (x - 3)2 + (y + 3)2 =2.
B. (x - 3)2 + (y + 3)2 =18.
C. (x + 3)2 + (y - 3)2 =18.
D. (x + 3)2 + (y - 3)2 =6.
Lời giải:
Chọn B
(C) có tâm I(1;-1), bán kính R = 
Gọi I'(x;y) là tâm của (C'), (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.
Ta có 
Mặt khác R'=|3|. R = 3 Từ đó ta có phương trình (C') là.
Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh đường tròn (C')của đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5 qua phép vị tự tâm 0 tỉ số k = -2.
A. (C'): (x + 2)2 + (y + 4)2 = 10.
B. (C'): (x - 2)2 + (y - 4)2 = 10.
C. (C'): (x + 2)2 + (y - 4)2 = 20.
D. (C'): (x - 2)2 + (y + 4)2 = 20.
Lời giải:
.
Chọn C
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5. Tìm ảnh đường tròn (C') của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(1;2) và tỉ số k = -2
A. x2 + y2 + 6x - 16y + 4 = 0.
B. x2 + y2 - 6x + 6y - 4 = 0.
C. (x + 3)2 + (y - 8)2 = 20.
D. (x - 3)2 + (y + 8)2 = 20.
Lời giải:
Chọn C
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C1): (x - 1)2 + (y - 3)2 =1; (C2): (x - 4)2 + (y - 3)2 = 4. Tìm tâm vị tự ngoài của hai đường tròn đó
A. (-2;3).
B. (2;3).
C. (3;-2).
D. (1;-3).
Lời giải:
Chọn A
Đường tròn (C1) có tâm I1(1;3) và bán kính R1 = 1
Đường tròn (C2) có tâm I2(4;3) và bán kính R2 = 2
Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C1) :(x - 3)2 + (y - 3)2 = 9 và đường tròn (C2): (x - 10)2 + (y - 7)2 = 4. Tìm tâm vị tự trong biến (C) thành (C').
Lời giải:
.
Chọn A
• Đường tròn (C) có tâm I(3;3) và bán kính R = 3
• Đường tròn (C') có tâm I'(10;7) và bán kính R' = 2
• Nhận thấy: I ≠ I', R ≠ R'. Gọi O1(x;y) là tâm vị tự trong. Khi đó: V(1,k)(I) = I'
