Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H thuộc BC)

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H ∈ BC).

Giải vở thực hành Toán 7 Luyện tập chung trang 84,85 Tập 2

Bài 5 trang 85 vở thực hành Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H ∈ BC).

a) Chứng minh ∆AHB = ∆AHC.

b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. Chứng minh AD = DH.

c) Gọi M là trung điểm của AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh ba điểm B, G, M thẳng hàng.

d) Chứng minh chu vi ∆ABC lớn hơn AH + 3BG.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông ∆AHB và ∆AHC có:

AH chung, AB = AC (tam giác ABC cân tại A) nên ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Từ câu a) ∆AHB = ∆AHC , suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc tương ứng).

Ta có AC // HD, suy ra $\widehat{A_2}=\widehat{H_1}$ (so le trong), từ đó $\widehat{A_1}=\widehat{H_1}$ nên ∆ADH cân tại D, suy ra AD = DH.    (1)

c) Ta có $\widehat{A_1}+\widehat{ABH}=90°$ (vì tam giác AHB vuông tại H), $\widehat{H_1}+\widehat{H_2}=\widehat{AHB}=90°$ (AH vuông góc với BC tại H). Vì $\widehat{A_1}=\widehat{H_1}$ nên $\widehat{ABH}=\widehat{H_2}$, suy ra tam giác BHD cân tại D, do đó BD = DH.     (2)

Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của AB.

Tam giác ABC có CD, AH là hai trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác.

Khi đó BG là trung tuyến, M là trung điểm của AC nên BG đi qua M, tức B, G, M thẳng hàng.

d) Trên tia BM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của BK, khi đó 2BM = BK.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên 3BG = 2BM. Từ đó BK = 2BM = 3BG.

Ta chứng minh được ∆BMC = ∆KMA (c.g.c), suy ra BC = AK.

Trong tam giác ABK, ta có:

AK + AB > BK hay BC + AB > BK, mà BK = 2BM = 3BG nên BC + AB > 3BG. (3)

Trong tam giác vuông AHC, ta có AC > AH.          (4)

Từ (3) và (4) suy ra BC + AC + AB > AH + 3BG.