Bài 3.18 trang 60 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3.18 trang 60 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 3.18 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Cho hai elip $\left(E_1\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ và $\left(E_2\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó.

b) Chứng minh rằng với mối điểm M thuộc elip (E₂) thì trung điểm N của đoạn thẳng OM thuộc elip (E₁).

Lời giải:

a) (E₁) có a₁ = 5, b₁ = 4 ⇒ $c_1=\sqrt{a_1^2-b_1^2}=3$ ⇒ tâm sai e₁ = $\frac{c_1}{a_1}$ = $\frac{3}{5}$.

(E₂) có a₂ = 10, b₂ = 8 ⇒ $c_2=\sqrt{a_2^2-b_2^2}=6$ ⇒ tâm sai e₂ = $\frac{c_2}{a_2}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$

Vậy e₁ = e₂.

b) Giả sử M có toạ độ là (x; y). Khi đó N có toạ độ là $\left(\frac{x}{2};\frac{y}{2}\right).$

Vì M thuộc (E₂) nên $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

$\Rightarrow \frac{x^2}{4.25}+\frac{y^2}{4.16}=1\Rightarrow {\left(\frac{x}{2}\right)}^2.\frac{1}{25}+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2.\frac{1}{16}=1$

$\Rightarrow \frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}{25}+\frac{{\left(\frac{y}{2}\right)}^2}{16}=1.$

Như vậy toạ độ của N thoả mãn phương trình của (E₁), do đó N thuộc (E₁).