Bài 3.21 trang 61 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3.21 trang 61 Chuyên đề Toán 10 trong Bài tập cuối chuyên đề 3. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 3.21 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là Δ: x + y – 1 = 0. Chứng minh rằng, điểm M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi x² + y² + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0 (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?

Lời giải:

+) M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi

$\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=2\iff \frac{\sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2}}{\frac{\left|x+y-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=2$

$\iff \sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2}=2\frac{\left|x+y-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2}=2\frac{\left|x+y-1\right|}{\sqrt{2}}$

$\iff {\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=2{\left(x+y-1\right)}^2$

⇔ (x² + 4x + 4) + (y² – 10y + 25) = 2(x² + y² + 1 + 2xy – 2x – 2y)

⇔ x² + y² + 4x – 10y + 29 = 2x² + 2y² + 2 + 4xy – 4x – 4y

⇔ x² + y² + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0.

+) (S) là hypebol vì có tâm sai lớn hơn 1.