Bài 3.25 trang 61 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3.25 trang 61 Chuyên đề Toán 10 trong Bài tập cuối chuyên đề 3. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 3.25 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Lời giải:

Giả sử A(x₁; y₁), B(x₂; y₂).

Ta thấy M nằm trong elip, do đó MA = MB khi M là trung điểm của AB.

⇒ x₁ + x₂ = 2x_M = 2.2 = 4, y₁ + y₂ = 2y_M = 2.1 = 2.

Vì A, B thuộc elip nên $\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16}=1$ và $\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{16}=1.$

$\Rightarrow \left(\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16}\right)-\left(\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{16}\right)=1-1=0$

$\Rightarrow \frac{x_1^2-x_2^2}{25}+\frac{y_1^2-y_2^2}{16}=0$

$\Rightarrow \frac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)}{25}+\frac{\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)}{16}=0$

$\Rightarrow \frac{4\left(x_1-x_2\right)}{25}+\frac{2\left(y_1-y_2\right)}{16}=0$

$\Rightarrow \frac{x_1-x_2}{25}+\frac{y_1-y_2}{32}=0$

$\Rightarrow \frac{x_1-x_2}{25}=\frac{y_1-y_2}{-32}.$

Mà $\overrightarrow{BA}$ có toạ độ là (x₁ – x₂; y₁ – y₂) nên (25; –32) là một vectơ chỉ phương của AB

⇒ (32; 25) là một vectơ pháp tuyến của AB

⇒ Phương trình đường thẳng AB là: 32(x – 2) + 25(y – 1) = 0 hay 32x + 25y – 89 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 32x + 25y – 89 = 0.