HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 4: Nhị thức Newton. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất của các số $C_n^k$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b = $C_1^{0}a+C_1^{0}b$

(a + b)² = a² + 2ab + b² = $C_2^0{a}^2+C_2^{1}ab+C_2^0{b}^2$

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = $C_3^0{a}^3+C_3^1{a}^{2}b+C_3^{2}a{b}^2+C_3^0{b}^3$

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = ...

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_4^1$ và $C_4^3$, ${\mathrm{C}}_5^2$ và ${\mathrm{C}}_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh ${\mathrm{C}}_1^0+{\mathrm{C}}_1^1$ và ${\mathrm{C}}_2^1$, ${\mathrm{C}}_2^0+{\mathrm{C}}_2^1$ và $C_3^1$,... Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ và $C_n^k.$

Lời giải:

a) (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

= ${\mathrm{C}}_4^0$a⁴ + ${\mathrm{C}}_4^1$a³b + ${\mathrm{C}}_4^2$a²b² + ${\mathrm{C}}_4^3$ab³ + ${\mathrm{C}}_4^4$b⁴.

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

= ${\mathrm{C}}_5^0$a⁵ + ${\mathrm{C}}_5^1$a⁴b + ${\mathrm{C}}_5^2$a³b² + ${\mathrm{C}}_5^3$a²b³ + ${\mathrm{C}}_5^4$ab⁴ + ${\mathrm{C}}_5^5$b⁵.

Ta thấy ${\mathrm{C}}_4^1$ = ${\mathrm{C}}_4^3$, ${\mathrm{C}}_5^2$ = ${\mathrm{C}}_5^3$,...

Dự đoán: ${\mathrm{C}}_n^k$ = $C_n^{n-k}$.

b) Ta thấy $C_1^0+C_1^1$ = $C_2^1,$ ${\mathrm{C}}_2^0+{\mathrm{C}}_2^1$ = ${\mathrm{C}}_3^1$,...

Dự đoán: $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ = $C_n^k.$