Cho phương trình: x^2 – 4mx + 9(1-m)^2 = 0

Ôn tập cuối năm

Bài 3 trang 160 Toán 10: Cho phương trình: x² – 4mx + 9(1-m)² = 0

a) Xét xem với giá trị nào của m, phương trình trên có nghiệm.

b) Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức giữa x₁ và x₂ độc lập đối với m.

c) Xác định m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4.

Trả lời

a) x² – 4mx + 9(1-m)² = 0 có nghiệm

⇔ Δ'≥ 0 ⇔ 4m² – 9(m² – 2m – 1) ≥0 ⇔ -5m² + 18m – 9 ≥0 < =>3/5 ≤ m ≤3

b) Tổng và tích hai nghiệm x₁, x₂

Ta có:

x₁ + x₂ = -b/a=4m

x₁x₂ = c/a = 9(1-m)2

Hệ thức giữa x₁ , x₂ độc lập với m

Khử m giữa S = 4m (1)

và P = 9(m-1) (2)

(1) ⇔ m = S/4

(2) ⇔ P = 9(S/4-2)² ⇔ P = (9S²)/16 - 9S/2 + 9

⇔ 9S² – 72S + 144 – 16P = 0

⇔ 9(x₁ + x₂)² – 72(x₁ + x₂) + 144 – 16x₁x₂ = 0

Đây là hệ thức giữa x₁, x₂ độc lập với m.

c) Ta có: |x₁-x₂ | = 4 (gt) (1)

Mà |x₁-x₂ |=√Δ/4 (2)

(1) và (2) cho √Δ=8

⇔ 13m2 – 18m + 5 = 0 ⇔ m = 1, m = 5/13

Vậy khi m = 1, m = 5/13 thì hiệu hai nghiệm bằng 4.