Chứng minh các bất đẳng thức sau 5(x-1) < x^5 – 1 < 5x^4 (x-1), nếu x – 1 >0

Ôn tập cuối năm

Bài 4 trang 160 Toán 10: Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) 5(x-1) < x⁵ – 1 < 5x⁴ (x-1), nếu x – 1 >0

b) x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ ≥ 0, biết rằng x + y ≥ 0

c) √(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1) < 5, biết rằng a, b, c > -1/4 và a + b + c = 1

Trả lời

a) Vì x > 1 nên x⁴ > x³ > x² > x > 1. Do đó 5x⁴ > x⁴ + x³ + x² + x² + 1 > 5

Suy ra 5x⁴(x-1) > (x-1)(x⁴ + x³ + x² + x² + 1) = x – 1 (1)

Mặt khác x⁵ – 1 = (x-1) )(x⁴ + x³ + x² + x² + 1) > 5(x-1) (2)

(1) và (2) cho 5(x-1) < x⁵ – 1 < 5x⁴(x-1) (đpcm)

b) x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ = (x+y)(x⁴ – x³y + x²y² – xy³ – y⁴) – xy(x³ + y³)

= (x+y)( x⁴ + 2x²y² + y⁴) – 2xy(x² + y²)

= (x+y)(x-y)2 (x² + y²) ≥ 0, vì x + y ≥ 0 (đpcm)

c) Ta có: (√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1))2 = (4a+1)+(4b+1)+(4c+1) + 2√(4a+1) + 2√(4b+1). √(4c+1) + 2√(4c+1). √(4c+1) ≤ 4(a+b+c) + 3 + [(4a+1) + (4b + 1) + (4c + 1)].2 (bất đẳng thức cô-si)

≤ 4 + 3 + 7.2 < 25

Vậy √(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1) < 5 ( đpcm)