Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24000

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 1 trang 121 Toán 11: Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi Un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát Un của dãy số (Un).

b) Chứng minh rằng (Un) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không còn độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại vè hơn 10 ^–6 g.

Trả lời

a) Nhận xét: u₁ = 1/2 ; u₂ = 1/4 ; u₃ = 1/8 . Từ đó dự đoán u_n = 1/(2ⁿ) .

(Có thế chứng minh dự đoán này bằng quy nạp).

b) lim u_n = lim ( 1/2 )ⁿ = 0 (theo tính chất lim qⁿ = 0 nếu │q│ < 1)

c) 10^–6 g = 10 ^–6 . 10^–3 kg = 1/(10)⁹ kg

Vì u_n → 0 nên │u_n │= 1/(2)ⁿ có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Có nghĩa là, │u_n │nhỏ hơn 1/(10)⁹ kể từ một nào đó. Nghĩa là sau một năm ứng với chu kì này, khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại với con người.