Chứng minh hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: y = sin^6 x + cos^6 x

Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 6 trang 169 Toán 11: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x.

Trả lời

a) y’ = 6sin⁵xcos x – 6cos⁵xsin x + 6sin xcos³x – 6sin³xcos x

= 6sin xcos x(sin⁴x – cos⁴x) – 6sin xcos x (sin²x – cos²x)

= 3sin2x(sin²x + cos²x) (sin²x – cos²x) – 3sin2x( sin²x – cos²x) =0

Vậy y’ = 0 với mọi x, tức là y’ không phụ thuộc vào x.

b) Vì cosin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

Từ đó suy ra:

Vậy y’ = 0 với mọi x, tức là y’ không phụ thuộc x.