Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = x^3 + (m + 3)x^2 + mx – 2 đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải bài 58 trang 36 SBT Giải tích 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số giúp học sinh biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12.

Bài 1.58 trang 36 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm giá trị của tham số m để hàm số

a) y = x³ + (m + 3)x² + mx – 2 đạt cực tiểu tại x = 1

b) y = −(m² + 6m)x³/3 − 2mx² + 3x + 1 đạt cực đại tại x = -1;

Lời giải:

a) y′ = 3x² + 2(m + 3)x + m

y′ = 0 ⇔ 3x² + 2(m + 3)x + m = 0

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

y′(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = −3

Khi đó,

y′ = 3x² – 3;

y′′ = 6x;

y′′(1) = 6 > 0;

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3.

b) y′ = −(m² + 6m)x² − 4mx + 3

y′(−1) = −m² − 6m + 4m + 3 = (−m² − 2m – 1) + 4 = −(m + 1)² + 4

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

y′(−1) = −(m + 1)² + 4 = 0 ⇔ (m + 1)² = 4

⇔

Với m = -3 ta có y’ = 9x2 + 12x + 3

⇒ y′′ = 18x + 12

⇒ y′′(−1) = −18 + 12 = −6 < 0

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

y′ = −7x² − 4x + 3

⇒ y′′ = −14x − 4

⇒ y′′(−1) = 10 > 0

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.