Cho hàm số: y = –(m^2 + 5m)x^3 + 6mx^2 + 6x – 5. Xác định m để hàm số đơn điệu trên R

Bài tập ôn tập chương 1

Giải bài 76 trang 40 SBT Giải tích 12 Bài tập ôn tập chương 1 giúp học sinh biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12.

Bài 1.76 trang 40 Sách bài tập Giải tích 12: Cho hàm số: y = –(m² + 5m)x³ + 6mx² + 6x – 5

a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 ?

Lời giải:

a) y = –(m² + 5m)x³ + 6mx² + 6x – 5

y′ = –3(m² + 5m)x² + 12mx + 6

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

    +) m² + 5m = 0 ⇔

– Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

– Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

    +) Với m² + 5m ≠ 0. Khi đó, y’ không đổi dấu nếu

Δ' = 36m² + 18(m² + 5m) ≤ 0 ⇔ 3m² + 5m ≤ 0 ⇔ –5/3 ≤ m ≤ 0

– Với điều kiện đó, ta có –3(m² + 5m) > 0 nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện –5/3 ≤ m ≤ 0 thì hàm số đồng biến trên R.

b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y’(1) = 0. Khi đó:

y′(1) = –3m² – 3m + 6 = 0 ⇔

Mặt khác, y” = –6(m² + 5m)x + 12m

    +) Với m = 1 thì y’’ = -36x + 12. Khi đó, y’’(1) = -24 < 0 , hàm số đạt cực đại tại x = 1.

    +) Với m = -2 thì y’’ = 36x – 24. Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.