Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Toán lớp 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 1 (trang 25 SGK Hình học 12): Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

Lời giải:

Gọi ABCD là tứ diện đều cạnh a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

⇒ HB = HC = HD nên H nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. (1)

Lại có: AB = AC = AD vì ABCD là tứ diện đều

⇒ HA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

⇒ HA ⊥ (BCD)

Vì tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời trọng tâm tam giác BCD. Gọi M là trung điểm của CD.

Xét tam giác BCD ta có:

Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông AHB ta được:

Diện tích tam giác đều BCD cạnh a là:

Do đó, thể tích khối tứ diện đều ABCD là:

Kiến thức áp dụng

+ Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:

+ Diện tích tam giác đều cạnh a là: