Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Toán lớp 12 Bài ôn tập chương I
Bài 11 (trang 46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
c) Xác định m sao cho độ dài MN nhỏ nhất.
d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của C cắt hai tiệm cận của C tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số
- TXĐ: D = R \ {-1}
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
⇒ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
⇒ x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
⇒ y = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
+ Giao với Ox: (-3; 0)
+ Giao với Oy: (0; 3)
+ Đồ thị hàm số nhận (-1; 1) là tâm đối xứng.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) y = 2x + m là:
⇔ (2x + m)(x + 1) = x + 3
⇔ 2x2 + mx + 2x + m = x + 3
⇔ 2x2 + (m + 1)x + m – 3 = 0 (*)
Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔ Δ = (m + 1)2 – 8(m – 3) > 0
⇔ m2 – 6m + 25 > 0
⇔ (m – 3)2 + 16 > 0
Đúng với ∀ m ∈ R.
Vậy với mọi m ∈ R, (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt MN.
c) Gọi M(xM; yM); N(xN; yN)
⇒ xM; xN là nghiệm của phương trình (*).
Theo hệ thức Vi-et ta có :
Dấu "=" xảy ra ⇔ m - 3 = 0 ⇔ m = 3
Vậy độ dài MN nhỏ nhất khi m = 3.
d) Gọi là điểm thuộc (C).
+ Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại S là:
+ Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng x = -1 là:
Tại x = -1 thì
⇒ Giao điểm
+ Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang y = 1:
Tại y = 1
⇒ Giao điểm Q(2x0 + 1; 1)
Ta có:
⇒ S là trung điểm PQ (đpcm).