Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là miền đa giác không bị gạch

Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là miền đa giác không bị gạch ở mỗi Hình 10a, 10b.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 16 trang 30 SBT Toán 10 tập 1: Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là miền đa giác không bị gạch ở mỗi Hình 10a, 10b.

Lời giải:

Xét Hình 10a):

Ta có: Đường thẳng d₁ đi qua hai điểm O và A là trục tung Oy có phương trình x = 0.

Ta thấy điểm B thuộc miền nghiệm nằm bên phải trục tung nên điểm B thỏa mãn bất phương trình x ≥ 0 (1)

Đường thẳng d₂ đi qua hai điểm O và B là trục hoành Ox có phương trình y = 0.

Ta thấy điểm B thuộc miền nghiệm nằm trên trục hoành nên điểm B thỏa mãn bất phương trình y ≥ 0 (2)

Đường thẳng d₃ đi qua hai điểm A(0; 6) và B(3; 0) có phương trình là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6} = 1 \iff$ 2x + y  = 6.

Ta thấy điểm O(0; 0) có 2.0 + 0 = 0 < 6 thuộc miền nghiệm nên điểm O thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 6 (3).

Từ (1), (2) và (3) miền nghiệm tam giác OAB biểu diễn cho hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x \ge 0\\ y \ge 0\\ 2x+y\le 6\end{array}\right.$

Xét Hình 10b):

Ta có: Đường thẳng d₁ đi qua hai điểm A(0; 3) và B(9; 3) song song với trục hoành có phương trình y = 3.

Ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm có 0 < 3 nên điểm O thỏa mãn bất phương trình y ≤ 3 (1)

Đường thẳng d₂ đi qua hai điểm A(0; 3) và D(– 5; – 2) cắt hai trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại các điểm có tọa độ là (– 3; 0) và (0; 3) có phương trình là: $\frac{x}{-3}+\frac{y}{3}=1\to x-y=-3$

Ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm có 0 – 0 = 0 > – 3 nên điểm O thỏa mãn bất phương trình x – y ≥ – 3.

Đường thẳng d₃ đi qua hai điểm B(9; 3) và C(4; – 2) song song với đường thẳng d₂ có phương trình là: x – y = c.

Vì đường thẳng này đi qua B(9; 3) nên ta có: 9 – 3 = c hay c = 6.

Khi đó phương trình d₃ là x – y = 6.

Ta thấy điểm O(0; 0) có 0 – 0 = 0 < 3 thuộc miền nghiệm nên điểm O thỏa mãn bất phương trình x – y ≤ 3 (3).

Đường thẳng d₁ đi qua hai điểm C(4; – 2) và D(– 5; – 2) song song với trục hoành có phương trình y = – 2.

Ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm có 0 > – 2 nên điểm O thỏa mãn bất phương trình y ≥ – 2 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) miền nghiệm của tứ giác ABCD biểu diễn cho hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}y \le 3\\ y \ge -2\\ x - y \ge -3\\ x - y \le 6\end{array}\right.$