Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 1: Mệnh đề

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 16 trang 9 SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 1: Mệnh đề. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được cách làm bài tập trong Sách bài tập Toán 10.

Bài 16 trang 9 SBT Toán 10 Tập 1: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó.

a) ∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2;

b) ∀x ∈ ℝ, x² > x;

c) ∃x ∈ ℝ, |x| > x;

d) ∃x ∈ ℚ, x² – x – 1 = 0.

Lời giải:

a) Gọi A: “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2” là $\overline{A}$: “∃n ∈ ℕ, n(n + 1) không chia hết cho 2”.

+) Xét tính đúng sai:

Với n = 2k (k ∈ ℕ) khi đó n.(n + 1) = 2k.(2k + 1) chia hết cho 2.

Với n = 2k + 1 (k ∈ ℕ) khi đó n.(n + 1) = (2k + 1).(2k + 2) = (2k + 1)(k + 1).2 chia hết cho 2.

Suy ra với mọi giá trị của n thì n(n + 1) chia hết cho 2. Do đó mệnh đề A đúng và $\overline{A}$ sai.

b) Gọi B: “∀x ∈ ℝ, x² > x”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề B: “∀x ∈ ℝ, x² > x” là $\overline{B}$: “∃x ∈ ℝ, x² ≤ x”.

Xét x² > x

⇔ x² – x > 0

⇔ x(x – 1) > 0

⇔$\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}x>0\\ x-1>0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x<0\\ x-1<0\end{array}\right)\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x>1\\ x<0\end{array}\right)$

Suy ra không phải với mọi số thực x thì x² > x.

Do đó mệnh đề B sai, mệnh đề $\overline{B}$ đúng.

c) Gọi C: “∃x ∈ ℝ, |x| > x”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “∃x ∈ ℝ, |x| > x” là mệnh đề $\overline{C}$: “∀x ∈ ℝ, |x| ≤ x”.

Ta luôn có |x| ≥ x với mọi giá trị thực của x. Do đó mệnh đề C là mệnh đề đúng, mệnh đề $\overline{C}$ là mệnh đề sai.

d) Gọi D: “∃x ∈ ℚ, x² – x – 1 = 0”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “∃x ∈ ℚ, x² – x – 1 = 0” là mệnh đề <![if !vml]><![endif]>: “∀x ∈ ℚ, x² – x – 1 ≠ 0”.

Xét phương trình x² – x – 1 = 0

Có: ∆ = (-1)² – 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Mà $\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}\notin \mathbb{Q}$

Do đó không tồn tại số hữu tỉ x nào để x² – x – 1 = 0.

Vì vậy mệnh đề C sai và mệnh đề $\overline{C}$ đúng.