Cho n điểm phân biệt (n > 1). Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78

Cho n điểm phân biệt (n > 1). Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78. Tìm n.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Tổ hợp

Bài 23 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2: Cho n điểm phân biệt (n > 1). Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78. Tìm n.

Lời giải:

Số đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 trong n điểm đã cho là: $C_n^2=\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}$.

Theo đề, ta có số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78.

Tức là, $\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}$ = 78.

Suy ra $\frac{\left(n-2\right)!.\left(n-1\right).n}{2.\left(n-2\right)!}$ = 78.

Khi đó $\frac{\left(n-1\right).n}{2}$ = 78.

Do đó n² – n = 156.

Vì vậy n² – n – 156 = 0.

Suy ra n = 13 hoặc n = –12.

Vì n > 1 nên ta nhận n = 13.

Vậy n = 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán.