Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170

Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Tổ hợp

Bài 25 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.

Lời giải:

Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là một cặp đỉnh (không tính n cạnh) được chọn trong n đỉnh của đa giác lồi nên ta có $C_n^2$ - n = $\frac{n!}{2!.\left(n-2\right)!}$ - n.

Theo đề, ta có số đường chéo của đa giác đó là 170.

Tức là, $\frac{n!}{2!.\left(n-2\right)!}$ - n = 170.

Suy ra $\frac{\left(n-2\right)!.\left(n-1\right).n}{2.\left(n-2\right)!}$ - n = 170.

Khi đó (n – 1).n – 2n = 340.

Vì vậy n² – 3n – 340 = 0.

Suy ra n = 20 hoặc n = –17.

Vì n > 3 nên ta nhận n = 20.

Vậy n = 20 là giá trị cần tìm.