Chứng minh rằng k(kCn) = n(k-1Cn-1) với 1 ≤ k ≤ n

Chứng minh rằng:

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Tổ hợp

Bài 27 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) $k C_{n}^{k}$ =n $C_{n - 1}^{k - 1}$ với 1 ≤ k ≤ n.

b) $\frac{1}{k + 1} C_{n}^{k} = \frac{1}{n + 1} C_{n + 1}^{k + 1}$ với 0 ≤ k ≤ n.

Lời giải:

a) Ta có $k C_{n}^{k} = k . \frac{n!}{k! . (n - k)!}$

$= \frac{k . n!}{k . (k - 1)! . (n - k)!}$

$= \frac{n . (n - 1)!}{(k - 1)! . ((n - 1) - (k - 1))!}$

$= n C_{n - 1}^{k - 1}$ .

Vậy $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$ với 1 ≤ k ≤ n.

b) Ta có $\frac{1}{k + 1} C_{n}^{k} = \frac{1}{k + 1} . \frac{n!}{k! . (n - k)!}$

$= \frac{n!}{(k + 1)! . (n - k)!}$

$= \frac{1}{n + 1} . \frac{(n + 1) . n!}{(k + 1)! . ((n + 1) - (k + 1))!}$

$= \frac{1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{(k + 1)! . ((n + 1) - (k + 1))!}$

$= \frac{1}{n + 1} C_{n + 1}^{k + 1}$ .

Vậy $\frac{1}{k + 1} C_{n}^{k} = \frac{1}{n + 1} C_{n + 1}^{k + 1}$ với 0 ≤ k ≤ n.