Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

---

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4.26 trang 59 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

a) Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$ có độ dài ngắn nhất.

b) Tìm toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho

Lời giải:

a) Giả sử E(0; y_E) là điểm thuộc trục tung.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

$\overrightarrow{EC}=\left(1;6-y_E\right)$ và $\overrightarrow{ED}=\left(11;2-y_E\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\left(1+11;6-y_E+2-y_E\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\left(12;8-2y_E\right)$

Vì (8 – 2y_E)² ≥ 0 ∀ y_E

Nên 12² + (8 – 2y_E)² ≥ 12² ∀ y_E

Hay $\sqrt{{12}^2+{\left(8-2y_E\right)}^2}\ge 12$∀ y_E

Do đó độ dài của vectơ $\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$ nhỏ nhất bằng 12

Dấu “=’ xảy ra $\iff$ 8 – 2y_E = 0

$\iff$ y_E = 4

Vậy với E(0; 4) thì vectơ $\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$ có độ dài ngắn nhất.

b) Giả sử F(a; 0) thuộc trục hoành.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) $\overrightarrow{FC}=\left(1-a;6\right)$$\Rightarrow 2\overrightarrow{FC}=\left(2-2a;12\right)$

+) $\overrightarrow{FD}=\left(11-a;2\right)$$\Rightarrow 3\overrightarrow{FD}=\left(33-3a;6\right)$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{FC}+3\overrightarrow{FD}=\left(2-2a+33-3a;12+6\right)$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{FC}+3\overrightarrow{FD}=\left(35-5a;18\right)$

Vì (35 – 5a)² ≥ 0 ∀a

Nên (35 – 5a)² + 18² ≥ 18² ∀a

Hay $\sqrt{{\left(35-5a\right)}^2+{18}^2}$∀a

Do đó độ dài của vectơ $2\overrightarrow{FC}+3\overrightarrow{FD}$ nhỏ nhất bằng 18

Dấu “=’ xảy ra $\iff$ 35 – 5a = 0

$\iff$ a = 7

Vậy với F(7; 0) thì đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Giả sử M(x ; y) là tọa độ điểm thỏa mãn

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) $\overrightarrow{CD}=\left(10;-4\right)$

Gọi I là trung điểm của CD, khi đó ta có:

• Tọa độ của I là:

• $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MI}$

Ta có

$\iff IM=\frac{CD}{2}=\frac{2\sqrt{29}}{2}=\sqrt{29}.$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(6; 4) và bán kính $R=\sqrt{29}.$